题目

12.(填空题)【填空题】设X_(1),X_(2),...,X_(n)是总体X的样本，且总体X~N(4,9)，overline(X)为样本均值，则E(overline(X))=____.

12.(填空题)【填空题】设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是总体X的样本，且总体X~N(4,9)，$\overline{X}$为样本均值，则E($\overline{X}$)=____.

题目解答

答案

为了确定样本均值$\overline{X}$的期望值，我们首先回顾样本均值的定义。样本均值$\overline{X}$由下式给出： \[ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \] 其中$X_1, X_2, \ldots, X_n$是总体$X$的样本。由于$X_1, X_2, \ldots, X_n$是独立同分布的随机变量，每个$X_i$的期望值等于总体的期望值，即$E(X_i) = E(X)$。 已知总体$X$服从正态分布$N(4, 9)$，我们知道总体的期望值$E(X)$为4。因此，每个$X_i$的期望值为4。 现在，我们利用期望的线性性质来求$\overline{X}$的期望值： \[ E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 4 = \frac{1}{n} \cdot n \cdot 4 = 4 \] 因此，样本均值$\overline{X}$的期望值为$\boxed{4}$。

解析

考查要点：本题主要考查样本均值的期望这一基本概念，以及如何利用期望的线性性质进行计算。

解题核心思路：

  1. 明确总体分布参数中的均值（本题中总体均值为4）。
  2. 理解样本均值的定义：$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$。
  3. 利用期望的线性性质，推导出样本均值的期望等于总体均值。

破题关键点：

  • 独立同分布的样本保证每个$X_i$的期望均为总体均值。
  • 通过线性运算，将样本均值的期望转化为总体均值的直接结果。

  1. 总体均值确定：
    已知总体$X \sim N(4, 9)$，因此总体均值为$\mu = 4$。

  2. 样本均值的定义：
    样本均值$\overline{X}$为：
    $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

  3. 计算期望：
    根据期望的线性性质：
    $E(\overline{X}) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i)$
    由于每个$X_i$均服从总体分布，故$E(X_i) = \mu = 4$，代入得：
    $E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot 4 = 4$