题目
2.设某种袋装糖果的质量服从正态分布,现从中随机地抽取16袋,称得质量-|||-的平均值 overline (x)=503.75(g), 样本方差 =6.2022(g), 求总体均值μ的置信度为0.95的-|||-置信区间.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定置信区间公式
由于总体方差未知，我们使用t分布来计算总体均值μ的置信区间。置信区间公式为：
\[ \overline{x} \pm t_{\frac{\alpha}{2}} \left( \frac{s}{\sqrt{n}} \right) \]
其中，$\overline{x}$是样本均值，$t_{\frac{\alpha}{2}}$是t分布的临界值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量。
步骤 2：代入已知数据
根据题目，$\overline{x} = 503.75$，$s = 6.2022$，$n = 16$，置信度为0.95，即$\alpha = 0.05$。因此，我们需要查t分布表找到$t_{0.025}(15)$的值，其中15是自由度（$n-1$）。
步骤 3：查t分布表
查t分布表，当自由度为15时，$t_{0.025}(15) = 2.1315$。
步骤 4：计算置信区间
将已知数据代入置信区间公式：
\[ 503.75 \pm 2.1315 \left( \frac{6.2022}{\sqrt{16}} \right) \]
\[ 503.75 \pm 2.1315 \left( \frac{6.2022}{4} \right) \]
\[ 503.75 \pm 2.1315 \times 1.55055 \]
\[ 503.75 \pm 3.3105 \]
\[ [500.4395, 507.0605] \]
由于总体方差未知，我们使用t分布来计算总体均值μ的置信区间。置信区间公式为：
\[ \overline{x} \pm t_{\frac{\alpha}{2}} \left( \frac{s}{\sqrt{n}} \right) \]
其中，$\overline{x}$是样本均值，$t_{\frac{\alpha}{2}}$是t分布的临界值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量。
步骤 2：代入已知数据
根据题目，$\overline{x} = 503.75$，$s = 6.2022$，$n = 16$，置信度为0.95，即$\alpha = 0.05$。因此，我们需要查t分布表找到$t_{0.025}(15)$的值，其中15是自由度（$n-1$）。
步骤 3：查t分布表
查t分布表，当自由度为15时，$t_{0.025}(15) = 2.1315$。
步骤 4：计算置信区间
将已知数据代入置信区间公式：
\[ 503.75 \pm 2.1315 \left( \frac{6.2022}{\sqrt{16}} \right) \]
\[ 503.75 \pm 2.1315 \left( \frac{6.2022}{4} \right) \]
\[ 503.75 \pm 2.1315 \times 1.55055 \]
\[ 503.75 \pm 3.3105 \]
\[ [500.4395, 507.0605] \]