题目
已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布((4.55)^2,(0.108)^2),现在测了五炉铁水,其含碳量分别为((4.55)^2,(0.108)^2),问:若标准差不改变,总体平均值有无变化?(((4.55)^2,(0.108)^2))。
已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布
,现在测了五炉铁水,其含碳量分别为
,问:若标准差不改变,总体平均值有无变化?(
)。
题目解答
答案
解 由题设
,且
检验假设:
选取统计量
,
,
因为
,故拒绝
,故总体平均值有显著变化。
解析
步骤 1：计算样本均值
根据题目给出的数据，计算样本均值$\overline{X}$。
$$\overline{X} = \frac{1}{5}(4.28 + 4.40 + 4.42 + 4.35 + 4.37) = 4.364$$
步骤 2：设定假设检验
设定原假设${H}_{0}$和备择假设${H}_{1}$。
$${H}_{0}:\mu ={\mu }_{0}=4.55$$
$${H}_{1}:\mu \neq {\mu }_{0}$$
步骤 3：计算检验统计量
计算检验统计量$U$。
$$U=\frac{\overline{X}-{\mu }_{0}}{\sqrt{\frac{{\sigma }^{2}}{n}}}=\frac{4.364-4.55}{\sqrt{\frac{{0.108}^{2}}{5}}}=-3.85$$
步骤 4：判断是否拒绝原假设
根据题目给出的显著性水平$\alpha =0.05$，查表得到${Z}_{0.025}=1.96$，比较$|U|$和${Z}_{0.025}$。
$$|U|=3.85 > {Z}_{0.025}=1.96$$
因此，拒绝原假设${H}_{0}$，认为总体平均值有显著变化。
根据题目给出的数据，计算样本均值$\overline{X}$。
$$\overline{X} = \frac{1}{5}(4.28 + 4.40 + 4.42 + 4.35 + 4.37) = 4.364$$
步骤 2：设定假设检验
设定原假设${H}_{0}$和备择假设${H}_{1}$。
$${H}_{0}:\mu ={\mu }_{0}=4.55$$
$${H}_{1}:\mu \neq {\mu }_{0}$$
步骤 3：计算检验统计量
计算检验统计量$U$。
$$U=\frac{\overline{X}-{\mu }_{0}}{\sqrt{\frac{{\sigma }^{2}}{n}}}=\frac{4.364-4.55}{\sqrt{\frac{{0.108}^{2}}{5}}}=-3.85$$
步骤 4：判断是否拒绝原假设
根据题目给出的显著性水平$\alpha =0.05$，查表得到${Z}_{0.025}=1.96$，比较$|U|$和${Z}_{0.025}$。
$$|U|=3.85 > {Z}_{0.025}=1.96$$
因此，拒绝原假设${H}_{0}$，认为总体平均值有显著变化。