题目
甲、乙、丙三个厂家生产的手机充电器在某地市场上的占有率分别为25%,35%,40%,其充-|||-电器的合格率分别为70%,75%,80%.-|||-(1)当地工商质检部门随机抽取3个手机充电器,其中由甲厂生产的手机充电器数目记为-|||-X,求X的分布列、期望和方差;-|||-(2)现从三个厂家生产的手机充电器中随机抽取1个,发现它是不合格品,求它是由甲厂生-|||-产的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定X的分布列
X表示随机抽取3个手机充电器中由甲厂生产的手机充电器数目，X服从二项分布$B(3,0.25)$。因此，X的分布列为：
$$
P(X=k) = C_3^k \cdot (0.25)^k \cdot (0.75)^{3-k}, \quad k=0,1,2,3
$$
步骤 2：计算X的期望和方差
对于二项分布$B(n,p)$，其期望$E(X)=np$，方差$Var(X)=np(1-p)$。因此，X的期望和方差分别为：
$$
E(X) = 3 \cdot 0.25 = 0.75
$$
$$
Var(X) = 3 \cdot 0.25 \cdot (1-0.25) = 0.5625
$$
步骤 3：计算不合格品由甲厂生产的概率
设事件A表示抽取的手机充电器是不合格品，事件B表示抽取的手机充电器由甲厂生产。根据全概率公式和贝叶斯公式，有：
$$
P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B})
$$
$$
P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}
$$
其中，$P(A|B)=0.3$，$P(B)=0.25$，$P(A|\overline{B})=0.25 \cdot 0.3 + 0.35 \cdot 0.25 + 0.4 \cdot 0.2 = 0.255$，$P(\overline{B})=0.75$。代入计算得：
$$
P(A) = 0.3 \cdot 0.25 + 0.255 \cdot 0.75 = 0.26625
$$
$$
P(B|A) = \frac{0.3 \cdot 0.25}{0.26625} = \frac{30}{97}
$$
X表示随机抽取3个手机充电器中由甲厂生产的手机充电器数目，X服从二项分布$B(3,0.25)$。因此，X的分布列为：
$$
P(X=k) = C_3^k \cdot (0.25)^k \cdot (0.75)^{3-k}, \quad k=0,1,2,3
$$
步骤 2：计算X的期望和方差
对于二项分布$B(n,p)$，其期望$E(X)=np$，方差$Var(X)=np(1-p)$。因此，X的期望和方差分别为：
$$
E(X) = 3 \cdot 0.25 = 0.75
$$
$$
Var(X) = 3 \cdot 0.25 \cdot (1-0.25) = 0.5625
$$
步骤 3：计算不合格品由甲厂生产的概率
设事件A表示抽取的手机充电器是不合格品，事件B表示抽取的手机充电器由甲厂生产。根据全概率公式和贝叶斯公式，有：
$$
P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B})
$$
$$
P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}
$$
其中，$P(A|B)=0.3$，$P(B)=0.25$，$P(A|\overline{B})=0.25 \cdot 0.3 + 0.35 \cdot 0.25 + 0.4 \cdot 0.2 = 0.255$，$P(\overline{B})=0.75$。代入计算得：
$$
P(A) = 0.3 \cdot 0.25 + 0.255 \cdot 0.75 = 0.26625
$$
$$
P(B|A) = \frac{0.3 \cdot 0.25}{0.26625} = \frac{30}{97}
$$