某宿舍有学生500人,每人在傍晚大约有10%的时间要占用一个水龙头,设每人需要水龙头是相互独立的,问该 宿舍至少需要安装多少个水龙头,才能以95%以上的概率保证用水需要?

步骤 1：确定问题类型
这是一个关于泊松分布和正态分布近似的问题。我们需要计算在给定条件下，至少需要多少个水龙头，才能以95%以上的概率保证用水需要。

步骤 2：计算期望值和方差
设X为在傍晚需要水龙头的学生人数。由于每个学生需要水龙头的概率为0.1，且学生人数为500，因此X服从二项分布B(500, 0.1)。当n很大且p很小的时候，二项分布可以近似为泊松分布，但这里n=500，p=0.1，n较大，p不很小，因此可以使用正态分布近似。期望值E(X) = np = 500 * 0.1 = 50，方差Var(X) = np(1-p) = 500 * 0.1 * 0.9 = 45。

步骤 3：使用正态分布近似
由于n较大，我们可以使用正态分布N(50, 45)来近似X的分布。我们需要找到一个x值，使得P(X <= x) >= 0.95。由于正态分布是对称的，我们可以使用标准正态分布表来查找对应的z值。对于95%的置信水平，z值为1.645（查表得到）。

步骤 4：计算所需的水龙头数量
根据正态分布的性质，我们有：
\[ P(X \leq x) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{x - 50}{\sqrt{45}}\right) = P\left(Z \leq \frac{x - 50}{\sqrt{45}}\right) \geq 0.95 \]
其中Z是标准正态分布变量。根据步骤3，我们有：
\[ \frac{x - 50}{\sqrt{45}} \geq 1.645 \]
解这个不等式，得到：
\[ x \geq 50 + 1.645 \times \sqrt{45} \approx 50 + 1.645 \times 6.708 \approx 50 + 11.02 \approx 61.02 \]
因此，至少需要安装62个水龙头，才能以95%以上的概率保证用水需要。