12.设X1,X2,X3,X 4.来来自均值为θ的指数分布总体的样本,其中θ未-|||-知.设有估计量-|||-_(1)=dfrac (1)(6)((X)_(1)+(X)_(2))+dfrac (1)(3)((X)_(3)+(X)_(4)),-|||-_(2)=dfrac (1)(5)((X)_(1)+2(X)_(2)+3(X)_(3)+4(X)_(4)),-|||-_(3)=dfrac (1)(4)((X)_(1)+(X)_(2)+(X)_(3)+(X)_(4)).-|||-(1)指出T1,T2,T3中哪几个是θ的无偏估计量.-|||-(2)在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查无偏估计量的判断及估计量有效性的比较。
解题思路：
- 无偏性判断：计算每个估计量的期望，若等于参数θ，则为无偏估计量。
- 有效性比较：在无偏估计中，计算方差，方差越小的估计量越有效。
关键点：
- 线性组合的期望：利用期望的线性性质，逐项计算。
- 方差的计算：注意系数平方对独立随机变量方差的影响。
第（1）题：判断无偏估计量
计算 $E(T_1)$
$T_1 = \dfrac{1}{6}(X_1 + X_2) + \dfrac{1}{3}(X_3 + X_4)$
期望为：
$E(T_1) = \dfrac{1}{6}(E(X_1) + E(X_2)) + \dfrac{1}{3}(E(X_3) + E(X_4)) = \dfrac{1}{6}(2\theta) + \dfrac{1}{3}(2\theta) = \theta$
结论：$T_1$ 是无偏估计量。
计算 $E(T_2)$
$T_2 = \dfrac{1}{5}(X_1 + 2X_2 + 3X_3 + 4X_4)$
期望为：
$E(T_2) = \dfrac{1}{5}(\theta + 2\theta + 3\theta + 4\theta) = \dfrac{10\theta}{5} = 2\theta \neq \theta$
结论：$T_2$ 不是无偏估计量。
计算 $E(T_3)$
$T_3 = \dfrac{1}{4}(X_1 + X_2 + X_3 + X_4)$
期望为：
$E(T_3) = \dfrac{1}{4}(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) + E(X_4)) = \dfrac{1}{4}(4\theta) = \theta$
结论：$T_3$ 是无偏估计量。
第（2）题：比较有效性
计算 $D(T_1)$
$\begin{aligned}D(T_1) &= \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 [D(X_1) + D(X_2)] + \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 [D(X_3) + D(X_4)] \\&= \dfrac{1}{36}(2\theta^2) + \dfrac{1}{9}(2\theta^2) \\&= \dfrac{2\theta^2}{36} + \dfrac{2\theta^2}{9} = \dfrac{5\theta^2}{18}\end{aligned}$
计算 $D(T_3)$
$\begin{aligned}D(T_3) &= \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 [D(X_1) + D(X_2) + D(X_3) + D(X_4)] \\&= \dfrac{1}{16}(4\theta^2) = \dfrac{\theta^2}{4}\end{aligned}$
比较：$\dfrac{5}{18} \approx 0.2778 > \dfrac{1}{4} = 0.25$，故 $T_3$ 的方差更小，更有效。