某工厂有600台车床，已知每台车床发生故障的概率为0.005，用泊松分布近似计算下列问题：(1) 如果该厂安排4名维修工人，求车床发生故障后都能得到及时维修的概率（假定每一台车床只需一名维修工人）；(2) 该厂至少应配备多少名维修工人，才能使车床发生故障后都能得到及时维修概率不小于0.96？

我们来逐步解决这个题目。

题目背景分析

• 工厂有 600台车床；
• 每台车床发生故障的概率为 0.005；
• 车床故障是独立事件；
• 我们用 泊松分布 来近似计算二项分布的概率。

第一步：确定泊松分布的参数

设随机变量 $ X $ 表示同时发生故障的车床数量。

由于每台车床是否故障是独立的伯努利试验，$ X \sim B(n=600, p=0.005) $。

当 $ n $ 很大，$ p $ 很小，$ \lambda = np $ 适中时，可以用泊松分布近似：

$\lambda = np = 600 \times 0.005 = 3$

所以，用泊松分布近似：

$X \sim \text{Poisson}(\lambda = 3)$

问题（1）：有4名维修工人，求故障车床都能得到及时维修的概率

题意解释：
“都能得到及时维修” 意味着 同时发生故障的车床数不超过4台，因为只有4名维修工人，每人修一台。

所以我们要求：

$P(X \leq 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$

泊松分布概率质量函数为：

$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad \lambda = 3$

我们逐项计算：

• $ P(0) = \frac{3^0 e^{-3}}{0!} = e^{-3} \approx 0.0498 $
• $ P(1) = \frac{3^1 e^{-3}}{1!} = 3e^{-3} \approx 3 \times 0.0498 = 0.1494 $
• $ P(2) = \frac{3^2 e^{-3}}{2!} = \frac{9}{2} e^{-3} = 4.5 \times 0.0498 \approx 0.2241 $
• $ P(3) = \frac{3^3 e^{-3}}{3!} = \frac{27}{6} e^{-3} = 4.5 \times 0.0498 \approx 0.2241 $
• $ P(4) = \frac{3^4 e^{-3}}{4!} = \frac{81}{24} e^{-3} = 3.375 \times 0.0498 \approx 0.1680 $

现在求和：

$P(X \leq 4) \approx 0.0498 + 0.1494 + 0.2241 + 0.2241 + 0.1680 = 0.8154$

✅ 问题（1）答案：

$\boxed{0.8154}$

即：有约 81.54% 的概率，故障车床都能得到及时维修。

问题（2）：至少需要多少名维修工人，才能使及时维修的概率不小于 0.96？

设需要 $ k $ 名维修工人，即要求：

$P(X \leq k) \geq 0.96$

我们继续使用 $ X \sim \text{Poisson}(3) $，查或计算累积概率。

我们从前面已知：

• $ P(X \leq 4) \approx 0.8154 $
• 继续计算 $ P(X=5), P(X=6), \dots $

计算：

• $ P(5) = \frac{3^5 e^{-3}}{5!} = \frac{243}{120} e^{-3} = 2.025 \times 0.0498 \approx 0.1008 $
• $ P(6) = \frac{3^6 e^{-3}}{6!} = \frac{729}{720} e^{-3} = 1.0125 \times 0.0498 \approx 0.0504 $
• $ P(7) = \frac{3^7 e^{-3}}{7!} = \frac{2187}{5040} e^{-3} \approx 0.4339 \times 0.0498 \approx 0.0216 $
• $ P(8) = \frac{3^8 e^{-3}}{8!} = \frac{6561}{40320} e^{-3} \approx 0.1627 \times 0.0498 \approx 0.0081 $
• $ P(9) = \frac{3^9 e^{-3}}{9!} = \frac{19683}{362880} e^{-3} \approx 0.0542 \times 0.0498 \approx 0.0027 $
• $ P(10) \approx \text{很小，约 } 0.0008 $

现在逐步累加：

• $ P(X \leq 4) \approx 0.8154 $
• $ P(X \leq 5) = 0.8154 + 0.1008 = 0.9162 $
• $ P(X \leq 6) = 0.9162 + 0.0504 = 0.9666 $
• $ P(X \leq 7) = 0.9666 + 0.0216 = 0.9882 $
• $ P(X \leq 8) = 0.9882 + 0.0081 = 0.9963 $

我们发现：

• $ P(X \leq 5) \approx 0.9162 < 0.96 $
• $ P(X \leq 6) \approx 0.9666 \geq 0.96 $

所以，至少需要 6 名维修工人，才能使及时维修的概率不小于 0.96。

✅ 问题（2）答案：

$\boxed{6}$

最终答案总结：

（1）车床都能及时维修的概率为：$\boxed{0.8154}$

（2）至少应配备的维修工人数为：$\boxed{6}$ 名。