记triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin (A-B)=sin Bsin (C-A).(1)证明：2(a)^2=(b)^2+(c)^2；(2)若a=5，cos A=dfrac (25)(31)，求triangle ABC的周长.

【答案】

$\left(1\right)$见解析；

$\left(2\right)$$14$

【解析】

【解析】

$\left(1\right)$$\because \sin C\sin \left(A-B\right)=\sin B\sin \left(C-A\right)$，

$\therefore \sin C\left(\sin A\cos B-\cos A\sin B\right)=\sin B\left(\sin C\cos A-\cos C\sin A\right)$，

由正弦定理得$c\left(a\cos B-b\cos A\right)=b\left(c\cos A-a\cos C\right)$，

整理得$ac\cos B+ab\cos C=2bc\cos A$，

由余弦定理的推论得$ac\cdot \dfrac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}+ab\cdot \dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=2bc\cdot \dfrac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，

整理得${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}$，

$\therefore 2{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}$.

$\left(2\right)$由余弦定理得${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bc\cos A$$=2{a}^{2}-2bc\cos A$，

$\therefore {a}^{2}=2bc\cos A$，

$\because a=5$，$\cos A=\dfrac{25}{31}$，

$\therefore {5}^{2}=2bc\cdot \dfrac{25}{31}$，

$\therefore bc=\dfrac{31}{2}$，

$\therefore {\left(b+c\right)}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}+2bc=2{a}^{2}+2bc$$=2\times {5}^{2}+2\times \dfrac{31}{2}=81$，

$\because b+c\gt 0$，

$\therefore b+c=9$，

$\therefore \triangle ABC$的周长为$a+b+c=5+9=14$.