题目

设随机变量X~U(0,3)，随机变量Y~P(2)(泊松)，且Cov(X,Y)=-1，则Var(2X-Y+1)=()bigcirc 1bigcirc 5bigcirc 9bigcirc 12

设随机变量X~U(0,3)，随机变量Y~P(2)(泊松)，且Cov(X,Y)=-1，则Var(2X-Y+1)=() $\bigcirc$ 1 $\bigcirc$ 5 $\bigcirc$ 9 $\bigcirc$ 12

题目解答

答案

为了求解 $ \text{Var}(2X - Y + 1) $，我们需要使用方差的性质。方差的性质包括： 1. $ \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X) $ 2. $ \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \text{Cov}(X, Y) $ 根据这些性质，我们可以将 $ \text{Var}(2X - Y + 1) $ 展开如下： \[ \text{Var}(2X - Y + 1) = \text{Var}(2X) + \text{Var}(-Y) + \text{Var}(1) + 2 \text{Cov}(2X, -Y) + 2 \text{Cov}(2X, 1) + 2 \text{Cov}(-Y, 1) \] 由于常数的方差为0，即 $ \text{Var}(1) = 0 $，且常数与随机变量的协方差为0，即 $ \text{Cov}(2X, 1) = 0 $ 和 $ \text{Cov}(-Y, 1) = 0 $，上式简化为： \[ \text{Var}(2X - Y + 1) = \text{Var}(2X) + \text{Var}(-Y) + 2 \text{Cov}(2X, -Y) \] 利用方差的性质 $ \text{Var}(aX) = a^2 \text{Var}(X) $ 和 $ \text{Cov}(aX, bY) = ab \text{Cov}(X, Y) $，进一步简化为： \[ \text{Var}(2X - Y + 1) = 4 \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot \text{Cov}(X, Y) = 4 \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) - 4 \text{Cov}(X, Y) \] 已知 $ \text{Cov}(X, Y) = -1 $，代入得： \[ \text{Var}(2X - Y + 1) = 4 \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) - 4 \cdot (-1) = 4 \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 4 \] 现在，我们需要求 $ \text{Var}(X) $ 和 $ \text{Var}(Y) $。由于 $ X \sim U(0, 3) $，均匀分布的方差公式为 $ \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12} $，其中 $ a = 0 $ 和 $ b = 3 $，所以： \[ \text{Var}(X) = \frac{(3-0)^2}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \] 由于 $ Y \sim P(2) $，泊松分布的方差等于其参数，所以： \[ \text{Var}(Y) = 2 \] 将 $ \text{Var}(X) $ 和 $ \text{Var}(Y) $ 代入方差表达式，得到： \[ \text{Var}(2X - Y + 1) = 4 \cdot \frac{3}{4} + 2 + 4 = 3 + 2 + 4 = 9 \] 因此，答案是： \[ \boxed{9} \]

解析

本题主要考察方差的性质及常见分布的方差计算，具体步骤如下：

步骤1：明确方差性质

方差的关键性质包括：

  1. 常数的方差为0：$\text{Var}(c)=0$（$c$为常数）；
  2. 线性变换的方差：$\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)$；
  3. 协方差性质：$\text{Cov}(aX,bY)=ab\text{Cov}(X,Y)$，且常数与随机变量的协方差为0：$\text{Cov}(X,c)=0$。

步骤2：展开目标方差

目标是计算$\text{Var}(2X-Y+1)$，利用方差性质展开：
$\text{Var}(2X-Y+1)=\text{Var}(2X)+\text{Var}(-Y)+\text{Var}(1)+2\text{Cov}(2X,-Y)+2\text{Cov}(2X,1)+2\text{Cov}(-Y,1)$
由于$\text{Var}(1)=0$，$\text{Cov}(2X,1)=0$，$\text{Cov}(-Y,1)=0$，简化为：
$\text{Var}(2X-Y+1)=\text{Var}(2X)+\text{Var}(-Y)+2\text{Cov}(2X,-Y)$

步骤3：代入方差与协方差公式

  • $\text{Var}(2X)=2^2\text{Var}(X)=4\text{Var}(X)$
  • $\text{Var}(-Y)=(-1)^2\text{Var}(Y)=\text{Var}(Y)$
  • $\text{Cov}(2X,-Y)=2\times(-1)\text{Cov}(X,Y)=-2\text{Cov}(X,Y)$

代入得：
$\text{Var}(2X-Y+1)=4\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+2\times(-2\text{Cov}(X,Y))=4\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)-4\text{Cov}(X,Y)$

步骤4：计算$\text{Var}(X)$和$\text{Var}(Y)$

  • $X\sim U(0,3)$（均匀分布）：方差公式$\text{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$，则$\text{Var}(X)=\frac{(3-0)^2}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$；
  • $Y\sim P(2)$（泊松分布）：方差等于参数，即$\text{Var}(Y)=2$。

步骤5：代入数值计算

已知$\text{Cov}(X,Y)=-1$，代入得：
$\text{Var}(2X-Y+1)=4\times\frac{3}{4}+2-4\times(-1)=3+2+4=9$