题目

已知随机变量X-N(1,9) ,Y~N(0,16),它们的相关系数为-dfrac (1)(2),设-dfrac (1)(2)，则-dfrac (1)(2)( )A.0 B.-15 C.-dfrac (1)(2) D.无法确定

已知随机变量X-N(1,9) ,Y~N(0,16),它们的相关系数为 $-\frac{1}{2}$ ,设 $z=\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}$ ，则 $cov\left(X,Z\right)=$ ( )

A.0

B.-15

C. $\frac{5}{6}$

D.无法确定

题目解答

答案

解析：∵X-N(1,9) ,Y~N(0,16)

∴cov(X,X)=D(X)= $\sigma^2$ =9，cov(Y,Y)=D(Y)= $\sigma^2$ =16

又∵X,Y的相关系数为 $-\frac{1}{2}$

$cov\left(X,Y\right)=\rho_{XY}\times\sqrt{D\left(X\right)\times D\left(Y\right)}$

∴代入数据可得： $cov\left(X,Y\right)=-\frac{1}{2}\times\sqrt{9\times16}=-6$

∵ $z=\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}$

则 $cov\left(X,Z\right)=cov\left(X,\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}\right)$

根据性质cov（X+Y，Z）=cov（X，Z）+cov（Y，Z）可知：

$cov\left(X,Z\right)=cov\left(X,\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}\right)=cov\left(X,\frac{X}{3}\right)+cov\left(X,\frac{Y}{2}\right)$

又∵对于任意常数a,b，cov(aX,bY)=abcov(X,Y)

∴ $cov\left(X,Z\right)=cov\left(X,\frac{X}{3}\right)+cov\left(X,\frac{Y}{2}\right)=\frac{1}{3}cov\left(X,X\right)+\frac{1}{2}cov\left(X,Y\right)$

代入数据可得： $cov\left(X,Z\right)=\frac{1}{3}cov\left(X,X\right)+\frac{1}{2}cov\left(X,Y\right)=\frac{1}{3}\times9+\frac{1}{2}\times\left(-6\right)=3-3=0$

故选A

解析

考查要点：本题主要考查协方差的性质及其计算，涉及随机变量的线性组合、相关系数与协方差的关系。

解题核心思路：

利用相关系数计算协方差：已知相关系数 $\rho_{XY} = -\dfrac{1}{2}$，结合方差 $D(X)=9$ 和 $D(Y)=16$，计算 $cov(X,Y)$。
分解协方差表达式：将 $cov(X,Z)$ 展开为 $cov\left(X, \dfrac{X}{3}\right) + cov\left(X, \dfrac{Y}{2}\right)$。
逐项计算：分别计算协方差的两个部分，最终求和。

破题关键点：

协方差的线性性质：$cov(aX + bY, Z) = a \cdot cov(X,Z) + b \cdot cov(Y,Z)$。
协方差与方差的关系：$cov(X,X) = D(X)$。

步骤1：计算 $cov(X,Y)$

根据相关系数公式：
$\rho_{XY} = \frac{cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)}}$
代入已知条件 $\rho_{XY} = -\dfrac{1}{2}$，$D(X)=9$，$D(Y)=16$：
$cov(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)} = -\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = -6$

步骤2：分解 $cov(X,Z)$

将 $Z = \dfrac{X}{3} + \dfrac{Y}{2}$ 代入协方差表达式：
$cov(X,Z) = cov\left(X, \dfrac{X}{3} + \dfrac{Y}{2}\right)$
根据协方差的线性性质：
$cov(X,Z) = cov\left(X, \dfrac{X}{3}\right) + cov\left(X, \dfrac{Y}{2}\right)$

步骤3：逐项计算

计算 $cov\left(X, \dfrac{X}{3}\right)$：
$cov\left(X, \dfrac{X}{3}\right) = \dfrac{1}{3} \cdot cov(X,X) = \dfrac{1}{3} \cdot D(X) = \dfrac{1}{3} \cdot 9 = 3$
计算 $cov\left(X, \dfrac{Y}{2}\right)$：
$cov\left(X, \dfrac{Y}{2}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot cov(X,Y) = \dfrac{1}{2} \cdot (-6) = -3$

步骤4：求和

$cov(X,Z) = 3 + (-3) = 0$