(X_1, X_2, X_3, X_4) 是来自总体 X sim N(mu, sigma^2) 的样本，下列统计量中作为总体均值 mu 的估计量最有效的是()A. (1)/(4) X_1 + (1)/(4) X_2 + (1)/(4) X_3 + (1)/(4) X_4B. (1)/(5) X_1 + (1)/(5) X_2 + (1)/(5) X_3 + (2)/(5) X_4C. (1)/(8) X_1 + (3)/(8) X_2 + (1)/(4) X_3 + (1)/(4) X_4D. (1)/(6) X_1 + (1)/(6) X_2 + (1)/(3) X_3 + (1)/(3) X_4

本题考查知识点为估计量有效性的判断，，解题思路是先明确估计量有效性的判断标准，即对于总体均值 $\mu$ 的无偏估计量，方差越小越有效。然后分别计算各选项统计量的方差，最后比较方差大小得出最有效的估计量。

步骤一：明确估计量有效性的判断标准

设 $\hat{\theta}_1$ 和 $\hat{\theta}_2$ 是参数 $\theta$ 的两个无偏估计量，若 $D(\hat{\theta}_1) < D(\hat{\theta}_2)$，则称 $\hat{\hat{\theta}_1\}$ 比 $\{\hat{\theta}_2\}$ 更有效。对于本题，要判断哪个统计量作为总体均值 $\mu$ 的估计量最有效，需先判断各统计量是否为无偏估计量，若是，则比较它们的方差大小，方差越小越有效。

步骤二：判断各选项统计量是否为无偏估计量

已知 $(X_1, X_2, X_3, X_4)$ 是来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，则 $E(X_i)=\mu$，$D(X)=\sigma^2$，且 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 相互独立。

• 选项A：
  设 $\hat{\mu}_A = \frac{1}{4} X_1 + \frac{frac{1}{4} X_2 + \frac{1}{4} X_3 + \frac{1}{4} X_4$，根据期望的线性性质 $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$，可得：
  $E(\hat{\mu}_A) = E(\frac{1}{4} X_1 + \frac{1}{4} X_2 + \frac{frac{1}{4} X_3 + \frac{1}{4} X_4) = \frac{1}{4}E(X_1) + \frac{1}{4}E(X_2) + \frac{1}{4}E(X_3) + \frac{frac{1}{4}E(X_4)$
  因为 $E(X_i)=\mu$，$i = 1,2,3,4$，所以 $E(\hat{\mu}_A) = \frac{1}{4}\mu + \frac{1}{4}\mu + \frac{1}{4}\mu + \frac{1}{4}\mu = \mu$，故 $\hat{\mu}_A$ 是 $\mu$ 的无偏估计量。
• 选项B：
  设 $\hat{\mu}_B = \frac{1}{5} X_1 + \frac{1}{5} X_2 + \frac{1}{5} X_3 + \frac{2}{5} X_4$，同理可得：
  $E(\hat{\mu}_B) = E(\frac{1}{5} X_1 + \frac{1}{5} X_2 + \frac{1}{5} X_3 + \frac{2}{5} X_4) = \frac{1}{5}E(X_1) + \frac{1}{5}E(X_2) + \frac{1}{5}E(X_3) + \frac{2}{5}E(X_4)$
  $E(\hat{\mu}_B) = \frac{1}{5}\mu + \frac{1}{5}\mu + \frac{1}{5}\mu + \frac{2}{5}\mu = \mu$，故 $\hat{\mu}_B$ 是 $\mu$ 的无偏估计量。
• 选项C：
  设 $\hat{\mu}_C = \frac{1}{8} X_1 + \frac{3}{8} X_2 + \frac{1}{4} X_3 + \frac{1}{4} X_4$，同理可得：
  $E(\hat{\hat{\mu}_C) = E(\frac{1}{8} X_1 + \frac{3}{8} X_2 + \frac{1}{4} X_3 + \frac{1}{4} X_4) = \frac{1}{8}E(X_1) + \frac{3}{8}E(X_2) + \frac{1}{4}E(X_3) + \frac{1}{4}E(X_4)$
  $E(\hat{\mu}_C) = \frac{1}{8}\mu + \frac{3}{8}\mu + \frac{1}{4}\mu + \frac{1}{4}\mu = \mu$，故 $\hat{\mu}_C$ 是 $\mu$ 的无偏估计量。
• 选项D：
  设 $\hat{\mu}_D = \frac{1}{6} X_1 + \frac{1}{6} X_2 + \frac{1}{3} X_3 + \frac{1}{3} X_4$，同理可得：
  $E(\hat{\mu}_D) = E(\frac{1}{6} X_1 + \frac{1}{6} X_2 + \frac{1}{3} X_3 + \frac{1}{3} X_4) = \frac{1}{6}E(X_1) + \frac{1}{6}E(X{{X_2) + \frac{1}{3}E(X_3) + \frac{1}{3}E(X_4)$
  $E(\hat{\mu}_D) = \frac{1}{6}\mu + \frac{1}{6}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu = \mu$，故 $\hat{\mu}_D$ 是 $\mu$ 的无偏估计量。

步骤三：计算各无偏估计量的方差

根据方差的性质 $D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)$（$X$，$Y$ 相互独立），可得：

• 选项A：
  $D(\hat{\mu}_A) = D(\frac{1}{4} X_1 + \frac{1}{4} X_2 + \frac{1}{4} X_3 + \frac{1}{4} X_4) = (\frac{1}{4})^2D(X_1) + (\frac{1}{4})^2D(X_2) + (\frac{1}{4})^2D(X_3) + (\frac{1}{4})^2D(X_4)$
  因为 $D(X_i)=\sigma^2$，$i = 1,2,3,4$，所以 $D(\hat{\mu}_A) = \frac{1}{164}\sigma^2 + \frac{1}{64}\sigma^2 + \frac{1}{64}\sigma^2 + \frac{1}{64}\sigma^2 = \frac{1}{16}\sigma^2$。
• 选项B：
  $D(\hat{\mu}_B) = D(\frac{1}{5} X_1 + \frac{1}{5} X_2 + \frac{1}{5} X_3 + \frac{2}{5} X_4) = (\frac{1}{5��})^2D(X_1) + (\frac{1}{5})^2D(X_2) + (\frac{1}{5})^2D(X_3) + (\frac{2}{5})^2D(X_4)$
  $D(\hat{\mu}_B) = \frac{1}{25}\sigma^2 + \frac{1}{25}\sigma^2 + \frac{1}{25}\sigma^2 + \frac{4}{25}\sigma^2 = \frac{7}{25}\sigma^2$。
• 选项C：
  $D(\hat{\mu}_C) = D(\frac{1}{8} X_1 + \frac{3}{8} X_2 + \frac{1}{4} X_3 + \frac{1}{4} X_4) = (\frac{1}{8})^2D(X_1) + (\frac{3}{8})^2D(X_2) + (\frac{1}{4})^2D(X_3) + (\frac{1}{4})^2D(X_4)$
  $D(\hat{\mu}_C}) = \frac{1}{64}\sigma^2 + \frac{9}{64}\sigma^2 + \frac{4}{64}\sigma^2 + \frac{4}{64}\sigma^2 = \frac{18}{64}\sigma^ = \frac{9}{32}\sigma^2$。

步骤四：比较方差大小

比较 $D(\hat{\mu}_A) = \frac{1}{16}\sigma^2$，$D(\hat{\mu}_B) = \frac{7}{25a}\sigma^2$，$D(\hat{\mu}_C) = \frac{9}{32}\sigma^2$ 的大小：
$\frac{1}{16}\sigma^2 = \frac{2}{32}\sigma^2$，因为 $\frac{2}{32}\sigma^2 < \frac{7}{25}\sigma^2 < \frac{9}{32}\sigma^2$，所以 $D(\hat{\mu}_A) < D(\hat{\mu}_B) < D(\hat{\mu}_C)$。