5.单选题(4分)向量组a_(1)=(1,1,1,1),a_(2)=(1,1,-1,-1),a_(3)=(1,-1,1,-1),a_(4)=(1,-1,-1,1),a_(5)=(2,0,1,-1)的极大无关组为()A. a_(1),a_(2),a_(3)B. a_(1),a_(2)C. a_(1)D. a_(1),a_(2),a_(3),a_(4)

考查要点：本题主要考查向量组极大无关组的判定方法，需要掌握线性相关性的判断及矩阵秩的应用。

解题核心思路：

1. 极大无关组的定义是向量组中最大线性无关的部分，其秩等于向量组的秩。
2. 四维向量最多线性无关的个数为4，因此需判断选项中给出的向量组是否线性无关，并验证是否包含所有必要向量。
3. 通过构造矩阵并进行行简化阶梯形（RREF）分析秩，确定选项中向量组的线性相关性。

破题关键点：

• 选项D包含4个四维向量，若它们线性无关，则必为极大无关组。
• 验证$a_5$是否可由$a_1,a_2,a_3,a_4$线性表示，若可表示，则极大无关组无需包含$a_5$。

构造矩阵并化简

将$a_1,a_2,a_3,a_4$作为列向量构造矩阵：
$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & -1 & -1 \\1 & -1 & 1 & -1 \\1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}$

进行行变换：

1. 第一行保持不变。
2. 第二行减去第一行：$R_2 \leftarrow R_2 - R_1$，得 $0 \quad 0 \quad -2 \quad -2$。
3. 第三行减去第一行：$R_3 \leftarrow R_3 - R_1$，得 $0 \quad -2 \quad 0 \quad -2$。
4. 第四行减去第一行：$R_4 \leftarrow R_4 - R_1$，得 $0 \quad -2 \quad -2 \quad 0$。

继续化简：

1. 第二行除以$-2$：$R_2 \leftarrow \frac{R_2}{-2}$，得 $0 \quad 0 \quad 1 \quad 1$。
2. 第三行除以$-2$：$R_3 \leftarrow \frac{R_3}{-2}$，得 $0 \quad 1 \quad 0 \quad 1$。
3. 第四行除以$-2$：$R_4 \leftarrow \frac{R_4}{-2}$，得 $0 \quad 1 \quad 1 \quad 0$。

交换行顺序后继续化简，最终得到矩阵存在4个主元，说明$a_1,a_2,a_3,a_4$线性无关，秩为4。

验证$a_5$的线性表示

由于$a_1,a_2,a_3,a_4$已张成4维空间，$a_5$必然可被线性表示，因此极大无关组无需包含$a_5$。