设 A^* 为三阶方阵A的伴随矩阵,且|A|=-2,则|2A^*|= ( ).A. -32B. -9C. 9D. 32

考查要点：本题主要考查伴随矩阵的性质及行列式的运算规律，需要结合矩阵阶数进行推导。

解题核心思路：

1. 利用伴随矩阵与原矩阵的关系：$A \cdot A^* = |A|I$，通过取行列式得到$|A^*|$的表达式。
2. 行列式的标量乘法性质：$|kA| = k^n |A|$（$n$为矩阵阶数）。
3. 代入已知条件：将$|A| = -2$和$n=3$代入公式，逐步计算。

破题关键点：

• 明确伴随矩阵行列式的公式：$|A^*| = |A|^{n-1}$（当$|A| \neq 0$时）。
• 分步计算：先求$|A^*|$，再结合标量乘法计算$|2A^*|$。

步骤1：求$|A^*|$

根据伴随矩阵的性质，$A \cdot A^* = |A|I$。对等式两边取行列式：
$|A| \cdot |A^*| = | |A|I |.$
右边为$|A|^n$（$n$为矩阵阶数），左边为$|A| \cdot |A^*|$，因此：
$|A| \cdot |A^*| = |A|^n.$
两边同除以$|A|$（因$|A| \neq 0$），得：
$|A^*| = |A|^{n-1}.$
代入$n=3$和$|A|=-2$，得：
$|A^*| = (-2)^{3-1} = (-2)^2 = 4.$

步骤2：计算$|2A^*|$

根据行列式的标量乘法性质：
$|2A^*| = 2^n |A^*|.$
代入$n=3$和$|A^*|=4$，得：
$|2A^*| = 2^3 \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32.$