1.已知 =(sin )^2x+sin (x)^2, 则 dfrac (dy)(dx)=[ ] . ()-|||-A. sin 2x+2xcos (x)^2 B. sin x+2xcos (x)^2-|||-C. sin 2x-2xcos (x)^2 D. sin x-2xcos (x)^2

考查要点：本题主要考查复合函数的求导法则，特别是链式法则的应用，以及三角函数的导数运算。

解题核心思路：

1. 分解函数结构：将函数拆分为两个部分 $\sin^2 x$ 和 $\sin(x^2)$，分别求导后相加。
2. 链式法则应用：
   • 对 $\sin^2 x$，外层是平方函数，内层是 $\sin x$，需两次应用链式法则。
   • 对 $\sin(x^2)$，外层是正弦函数，内层是 $x^2$，需应用链式法则。
3. 三角恒等式简化：将 $2\sin x \cos x$ 转化为 $\sin 2x$。

破题关键点：

• 正确识别复合结构，明确每层函数的导数。
• 避免符号错误，如 $\sin(x^2)$ 的导数是 $2x \cos(x^2)$，而非 $2x \cos x$。

分解函数并分别求导

第一部分：$\sin^2 x$

1. 外层函数：$u^2$，导数为 $2u = 2\sin x$。
2. 内层函数：$\sin x$，导数为 $\cos x$。
3. 链式法则：
   $\frac{d}{dx} (\sin^2 x) = 2\sin x \cdot \cos x = \sin 2x$

第二部分：$\sin(x^2)$

1. 外层函数：$\sin u$，导数为 $\cos u = \cos(x^2)$。
2. 内层函数：$x^2$，导数为 $2x$。
3. 链式法则：
   $\frac{d}{dx} (\sin(x^2)) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$

合并结果

将两部分导数相加：
$\frac{dy}{dx} = \sin 2x + 2x \cos(x^2)$

对应选项：A.