题目

设X_1, ldots, X_n是来自正态总体N(mu, sigma^2)的简单随机样本，overline(X)和S^2分别是样本均值和样本方差，则有（） A (n(overline(X)-mu)^2)/(S^2) sim F(1, n-1) B (n(overline(X)-mu)^2)/(sigma^2) sim chi^2(n) C (sum_(i=1)^n (X_i-mu)^2)/(sigma^2) sim chi^2(n-1)

设$X_1, \ldots, X_n$是来自正态总体$N(\mu, \sigma^2)$的简单随机样本，$\overline{X}$和$S^2$分别是样本均值和样本方差，则有（）

A $\frac{n(\overline{X}-\mu)^2}{S^2} \sim F(1, n-1)$

B $\frac{n(\overline{X}-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$

C $\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

题目解答

答案

**答案：A** **解析：** - **选项A：** $\frac{n(\overline{X} - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$，且$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。 两卡方分布比值（除以各自自由度）服从F分布，故$\frac{n(\overline{X} - \mu)^2}{S^2} \sim F(1, n-1)$，正确。 - **选项B：** $\frac{n(\overline{X} - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$，自由度为1，错误。 - **选项C：** $\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$，自由度为n，错误。 - **选项D：** $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，自由度为n-1，错误。 **答案：A**

解析

考查要点：本题主要考查正态总体下样本均值、样本方差的分布性质，以及卡方分布、F分布的构造方法。

解题核心思路：

  1. 样本均值与总体均值的平方偏差：$\frac{n(\overline{X}-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$；
  2. 样本方差的分布：$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$；
  3. F分布的构造：两个独立的卡方变量分别除以各自自由度后的比值服从F分布。

破题关键点：

  • 区分不同统计量的自由度：样本均值的平方偏差对应自由度1，样本方差对应自由度$n-1$；
  • 独立性：样本均值与样本方差独立，确保F分布的成立。

选项A分析

  1. 分子部分：$\frac{n(\overline{X}-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$；
  2. 分母部分：$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$；
  3. 构造F分布：将分子除以自由度1，分母除以自由度$n-1$，比值为$\frac{\chi^2(1)/1}{\chi^2(n-1)/(n-1)} \sim F(1, n-1)$，因此选项A正确。

选项B分析

  • $\frac{n(\overline{X}-\mu)^2}{\sigma^2}$服从$\chi^2(1)$，但选项中错误地标注自由度为$n$，故选项B错误。

选项C分析

  • $\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\sigma^2}$是$n$个独立正态变量的平方和，应服从$\chi^2(n)$，但选项中错误地标注自由度为$n-1$，故选项C错误。