题目

18、设一种罐装饮料采用自动生产线生产，每罐的容量是255ml，标准差为5ml。为检验每罐容量是否符合要求，质检人员在某天生产的饮料中随机抽取了16罐进行检验，测得每罐平均容量为255.8ml。取显著性水平α=0.05，检验该天生产的饮料容量是否符合标准要求？(z_(0.025)=1.96)

18、设一种罐装饮料采用自动生产线生产，每罐的容量是255ml，标准差为5ml。为检验每罐容量是否符合要求，质检人员在某天生产的饮料中随机抽取了16罐进行检验，测得每罐平均容量为255.8ml。取显著性水平α=0.05，检验该天生产的饮料容量是否符合标准要求？ ($z_{0.025}=1.96$)

题目解答

答案

为了检验该天生产的饮料容量是否符合标准要求，我们需要进行假设检验。具体步骤如下： 1. **提出假设**： - 原假设 $ H_0 $：每罐的容量符合标准，即 $ \mu = 255 $ ml。 - 备择假设 $ H_1 $：每罐的容量不符合标准，即 $ \mu \neq 255 $ ml。 2. **确定检验统计量**： - 由于总体标准差已知，且样本量 $ n = 16 $（为小样本），我们使用Z检验统计量。 - Z检验统计量的公式为： \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \] 其中， $ \bar{X} $ 是样本均值， $ \mu_0 $ 是总体均值， $ \sigma $ 是总体标准差， $ n $ 是样本量。 3. **计算检验统计量的值**： - 样本均值 $ \bar{X} = 255.8 $ ml，总体均值 $ \mu_0 = 255 $ ml，总体标准差 $ \sigma = 5 $ ml，样本量 $ n = 16 $。 - 代入公式，得到： \[ Z = \frac{255.8 - 255}{5 / \sqrt{16}} = \frac{0.8}{5 / 4} = \frac{0.8}{1.25} = 0.64 \] 4. **确定临界值**： - 显著性水平 $ \alpha = 0.05 $，由于是双侧检验，临界值为 $ \pm z_{0.025} $。 - 从标准正态分布表中查得 $ z_{0.025} = 1.96 $。 - 因此，临界值为 $ \pm 1.96 $。 5. **做出决策**： - 检验统计量的值 $ Z = 0.64 $ 落在 acceptance region $ (-1.96, 1.96) $ 之间，即 $ -1.96 < 0.64 < 1.96 $。 - 因此，我们不拒绝原假设 $ H_0 $。 6. **结论**： - 该天生产的饮料容量符合标准要求。所以，最终答案是 $\boxed{\text{该天生产的饮料容量符合标准要求}}$。

解析

考查要点：本题主要考查假设检验的基本应用，特别是Z检验的步骤和原理。需要理解如何根据样本数据判断总体参数是否符合标准要求。

解题核心思路：

建立假设：明确原假设（容量符合标准）和备择假设（容量不符合标准）。
选择检验统计量：由于总体标准差已知且样本量较小（$n=16$），直接使用Z检验。
计算检验统计量：通过公式 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$ 得到结果。
比较临界值：根据显著性水平 $\alpha=0.05$ 确定双侧临界值 $\pm 1.96$，判断是否拒绝原假设。

破题关键：

双侧检验的设定（题目未明确方向性，需检验“是否符合标准”）。
正确代入公式计算Z值，并与临界值比较。

1. 建立假设

原假设 $H_0$：$\mu = 255$ ml（容量符合标准）。
备择假设 $H_1$：$\mu \neq 255$ ml（容量不符合标准）。

2. 选择检验统计量

总体标准差 $\sigma = 5$ ml 已知，样本量 $n=16$，使用Z检验。
公式：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$

3. 计算检验统计量

样本均值 $\bar{X} = 255.8$ ml，总体均值 $\mu_0 = 255$ ml，代入公式：
$Z = \frac{255.8 - 255}{5 / \sqrt{16}} = \frac{0.8}{1.25} = 0.64$

4. 确定临界值

显著性水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验临界值为 $\pm z_{0.025} = \pm 1.96$。

5. 做出决策

检验统计量 $Z = 0.64$ 落在 $(-1.96, 1.96)$ 内，不拒绝原假设。

6. 结论

该天生产的饮料容量符合标准要求。