当自由度趋向无穷大时，t分布趋向( )A. X2分布B. F分布C. 二项分布D. 标准正态分布E. 泊松分布

考查要点：本题主要考查对t分布性质的理解，特别是自由度变化对其极限分布的影响。

解题核心思路：
t分布的形态随自由度变化而变化。当自由度逐渐增大时，t分布的形态会逐渐接近标准正态分布。这一结论可以通过t分布的定义（由标准正态变量与卡方变量构造）和极限分析得出。

破题关键点：

1. t分布的定义：$t = \frac{Z}{\sqrt{\chi^2 / v}}$，其中$Z$为标准正态变量，$\chi^2$为卡方变量，$v$为自由度。
2. 自由度趋于无穷大时，$\chi^2 / v$趋近于1，因此$t$趋近于$Z$，即标准正态分布。

t分布的极限性质：

1. 自由度与分布形态的关系：
   • 当自由度$v$较小时，t分布呈现“矮胖”形态（峰比正态分布低，尾部更厚）。
   • 随着$v$增大，t分布的峰逐渐升高，尾部变薄，逐渐逼近标准正态分布。
2. 数学推导：
   • 当$v \to \infty$时，$\chi^2$分布的均值为$v$，方差为$2v$，因此$\sqrt{\chi^2 / v} \to 1$（由大数定律）。
   • 代入$t$的表达式，得$t \approx Z / 1 = Z$，即$t$趋近于标准正态分布。

选项分析：

• A. $\chi^2$分布：与自由度无关，排除。
• B. F分布：用于比较两个总体的方差，排除。
• C. 二项分布：离散型分布，排除。
• D. 标准正态分布：符合推导结论，正确。
• E. 泊松分布：计数事件分布，排除。