设总体 X 服从正态分布 N(mu, sigma^2), X_1, X_2, ldots, X_n 是来自 X 的样本，若 mu 未知，则 sigma^2 的置信区间为(）A. [((n-1)S^2)/(chi^2_(alpha/2)(n-1)), ((n-1)S^2)/(chi^2_(1-alpha/2)(n-1))]B. [((n-1)S^2)/(chi^2_(alpha)(n)), ((n-1)S^2)/(chi^2_(1-alpha)(n))]C. [((n-1)S^2)/(chi^2_(alpha)(n-1)), ((n-1)S^2)/(chi^2_(1-alpha)(n-1))]D. [((n-1)S^2)/(chi^2_(alpha/2)(n)), ((n-1)S^2)/(chi^2_(1-alpha/2)(n))]

考查要点：本题主要考查正态分布总体方差$\sigma^2$的置信区间构造方法，重点在于理解卡方分布的性质及分位数的应用。

解题核心思路：

1. 当总体均值$\mu$未知时，样本方差$S^2$的抽样分布服从卡方分布，即$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
2. 利用卡方分布的双侧分位数$\chi^2_{\alpha/2}(n-1)$和$\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$，通过不等式变形求解$\sigma^2$的范围。

破题关键点：

• 自由度为$n-1$（因$\mu$未知，需用样本均值计算$S^2$）。
• 分位数的正确选择：双侧置信区间需用$\alpha/2$分位数，而非$\alpha$分位数。

步骤1：确定统计量的分布

当$\mu$未知时，样本方差$S^2$满足：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

步骤2：构造概率不等式

设置信水平为$1-\alpha$，根据卡方分布的分位数定义：
$P\left( \chi^2_{\alpha/2}(n-1) \leq \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \leq \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) \right) = 1-\alpha$

步骤3：解不等式求$\sigma^2$的范围

对不等式取倒数并调整方向：
$\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}$

步骤4：匹配选项

选项A的区间形式与上述结果一致，且自由度为$n-1$，分位数为$\alpha/2$，因此正确。