求函数 u = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + xy - 4x + 2y - 4z 在点 A(0,0,0) 及 B(5,-3,2/3) 的梯度以及它们的模.
求函数 $u = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + xy - 4x + 2y - 4z$ 在点 $A(0,0,0)$ 及 $B(5,-3,2/3)$ 的梯度以及它们的模.
题目解答
答案
我们要求函数
$u = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + xy - 4x + 2y - 4z$
在点 $ A(0,0,0) $ 和 $ B(5, -3, \frac{2}{3}) $ 的梯度以及它们的模。
第一步：求梯度
梯度是一个向量，由函数对各个变量的偏导数组成：
$\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right)$
我们先分别求偏导数：
1. 对 $ x $ 求偏导：
$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x + y - 4$
2. 对 $ y $ 求偏导：
$\frac{\partial u}{\partial y} = 4y + x + 2$
3. 对 $ z $ 求偏导：
$\frac{\partial u}{\partial z} = 6z - 4$
所以梯度为：
$\nabla u = \left( 2x + y - 4,\ 4y + x + 2,\ 6z - 4 \right)$
第二步：在点 A(0,0,0) 处计算梯度
代入 $ x = 0, y = 0, z = 0 $：
$\nabla u|_{A} = (2 \cdot 0 + 0 - 4,\ 4 \cdot 0 + 0 + 2,\ 6 \cdot 0 - 4) = (-4,\ 2,\ -4)$
计算模长：
$|\nabla u|_A = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$
第三步：在点 B(5, -3, 2/3) 处计算梯度
代入 $ x = 5, y = -3, z = \frac{2}{3} $：
-
第一个分量：
$2x + y - 4 = 2 \cdot 5 + (-3) - 4 = 10 - 3 - 4 = 3$ -
第二个分量：
$4y + x + 2 = 4 \cdot (-3) + 5 + 2 = -12 + 5 + 2 = -5$ -
第三个分量：
$6z - 4 = 6 \cdot \frac{2}{3} - 4 = 4 - 4 = 0$
所以梯度为：
$\nabla u|_{B} = (3,\ -5,\ 0)$
计算模长：
$|\nabla u|_B = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$
最终答案：
-
在点 $ A(0,0,0) $ 处：
$\nabla u = (-4,\ 2,\ -4),\quad |\nabla u| = 6$ -
在点 $ B(5,-3,\frac{2}{3}) $ 处：
$\nabla u = (3,\ -5,\ 0),\quad |\nabla u| = \sqrt{34}$
✅ 答：
- 点 A 处梯度为 $ \boxed{(-4,\ 2,\ -4)} $，模为 $ \boxed{6} $；
- 点 B 处梯度为 $ \boxed{(3,\ -5,\ 0)} $，模为 $ \boxed{\sqrt{34}} $。
解析
本题考查多元函数梯度的计算以及向量模的计算。解题思路是先根据梯度的定义求出函数的梯度表达式，再将给定的点代入梯度表达式求出该点的梯度，最后根据向量模的计算公式求出梯度的模。
- 求函数$u = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + xy - 4x + 2y - 4z$的梯度：
- 根据梯度的定义，对于三元函数$u = u(x,y,z)$，其梯度$\nabla u=\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\right)$。
- 求$\frac{\partial u}{\partial x}$：
将$y$和$z$看作常数，对$u$关于$x$求偏导数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2y^2 + 3z^2 + xy - 4x + 2y - 4z)=2x + y - 4$ - 求$\frac{\partial u}{\partial y}$：
将$x$和$z$看作常数，对$u$关于$y$求偏导数，可得：
$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 2y^2 + 3z^2 + xy - 4x + 2y - 4z)=4y + x + 2$ - 求$\frac{\partial u}{\partial z}$：
将$x$和$y$看作常数，对$u$关于$z$求偏导数，可得：
$\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x^2 + 2y^2 + 3z^2 + xy - 4x + 2y - 4z)=6z - 4$ - 所以函数$u$的梯度为$\nabla u = (2x + y - 4, 4y + x + 2, 6z - 4)$。
- 求点$A(0,0,0)$处的梯度及模：
- 将$x = 0$，$y = 0$，$z = 0$代入梯度表达式$\nabla u$，可得：
$\nabla u|_{A}=(2\times0 + 0 - 4, 4\times0 + 0 + 2, 6\times0 - 4)=(-4, 2, -4)$ - 根据向量模的计算公式，对于向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，其模$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$，则$\nabla u|_{A}$的模为：
$|\nabla u|_A=\sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-4)^2}=\sqrt{16 + 4 + 16}=\sqrt{36}=6$
- 将$x = 0$，$y = 0$，$z = 0$代入梯度表达式$\nabla u$，可得：
- 求点$B(5,-3,\frac{2}{3})$处的梯度及模：
- 将$x = 5$，$y = -3$，$z = \frac{2}{3}$代入梯度表达式$\nabla u$：
第一个分量：$2x + y - 4 = 2\times5 + (-3) - 4 = 10 - 3 - 4 = 3$
第二个分量：$4y + x + 2 = 4\times(-3) + 5 + 2 = -12 + 5 + 2 = -5$
第三个分量：$6z - 4 = 6\times\frac{2}{3} - 4 = 4 - 4 = 0$
所以$\nabla u|_{B}=(3, -5, 0)$ - 则$\nabla u|_{B}$的模为：
$|\nabla u|_B=\sqrt{3^2 + (-5)^2 + 0^2}=\sqrt{9 + 25}=\sqrt{34}$
- 将$x = 5$，$y = -3$，$z = \frac{2}{3}$代入梯度表达式$\nabla u$：