例4 从某班级的英语期末考试成绩中，随机抽取10名同学的成绩，分别为：100，85，70，65，90，95，63，50，77，86. 求样本均值，样本方差及二阶原点矩.

本题主要考察样本均值、样本方差及二阶原点矩的计算，具体思路如下：

1. 样本均值的计算

样本均值$\overline{x}$的公式为：
$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$
其中$n=10$（样本数量），$x_i$为各样本值。
步骤：

• 求和：$100+85+70+65+90+95+63+50+77+86=781$
• 均值：$\overline{x}=\frac{781}{10}=78.1$

2. 样本方差的计算

样本方差$s^2$的公式为：
$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$
（注：样本方差通常除以$n-1$，而非$n$，称为“无偏估计”）
步骤：

• 先计算每个$x_i - \overline{x}$及其平方：
  $100-78.1=21.9$，平方$479.61$；$85-78.1=6.9$，平方$47.61$；$70-78.1=-8.1$，平方$65.61$；$65-78.1=-13.1$，平方$171.61$；$90-78.1=11.9$，平方$141.61$；$95-78.1=16.9$，平方$285.61$；$63-78.1=-15.1$，平方$228.01$；$50-78.1=-28.1$，平方$789.61$；$77-78.1=-1.1$，平方$1.21$；$86-78.1=7.9$，平方$62.41$
• 平方和：$479.61+47.61+65.61+171.61+141.61+285.61+228.01+789.61+1.21+62.41=2272.88$
• 方差：$s^2=\frac{2272.88}{9}\approx252.54$

另一种公式验证：
$s^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum x_i^2 - \frac{1}{n}(\sum x_i)^2\right)$

• $\sum x_i^2=100^2+85^2+70^2+65^2+90^2+95^2+63^2+50^2+77^2+86^2=10000+7225+4900+4225+8100+9025+3969+2500+5929+7396=63269$
• 代入：$\frac{1}{9}\left(63269 - \frac{781^2}{10}\right)=\frac{1}{9}(63269 - 60996.1)=\frac{2272.9}{9}\approx252.54$

3. 二阶原点矩的计算计算**

二阶原点矩$A_2$的公式为：
$A_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2$

• 已算得$\sum x_i^2=63269$，则$A_2=\frac{63269}{10}=6326.9$