12.某公司为确定下一年度投入某种产-|||-品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)-|||-对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千-|||-元)的影响,对近8年的年宣传费x1和年销-|||-售量 _(i)(i=1,2,... ,8) 数据作了初步处理,得-|||-到下面的散点图及一些统计量的值.-|||-↑年销售量/t-|||-620-|||-600-|||-580-|||-560-|||-540-|||-520-|||-500-|||-480-|||-34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56年宣传费/千元-|||-sum _(i=1)^8(({x)_(i)-overline (x))}^2 sum _(i=1)^8(({m)_(i)-overline (m))}^2 sum _(i=1)^8((x)_(i)-overline (x))((y)_(i)-overline (y)) sum _(i=1)^8((w)_(i)-overline (w))((y)_(i)-overline (y))-|||-563|6.8 289.8 1.6 1 469 108.8-|||-表中 _(i)=sqrt ({x)_(i)}, overline (u)=dfrac (1)(8)sum _(i=1)^8(w)_(i)-|||-(1)根据散点图判断, y=a+bx 与 y=-|||-+dsqrt (x) 哪一个适宜作为年销售量y关于年-|||-宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,-|||-不必说明理由)-|||-(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建-|||-立y关于x的回归方程.-|||-(3)已知这种产品的年利率z与x,y的-|||-关系为 =0.2y-x. 根据(2)的结果回答下-|||-列问题:-|||-①年宣传费 x=49 时,年销售量及年利-|||-润的预报值是多少?-|||-②年宣传费x为何值时,年利率的预报-|||-值最大?
题目解答
答案
解析
本题主要考查回归方程的选择、建立以及利用回归方程进行预测和求最值，解题思路如下：
- 判断回归方程类型：通过观察散点图的分布特征，选择更能拟合数据的回归方程类型。
- 建立回归方程：
- 对于选择的回归方程类型，通过变量代换将其转化为线性回归方程。
- 利用给定的统计量，根据线性回归方程的系数计算公式求出系数。
- 将求出的系数代回代换后的方程，再将变量还原，得到关于原变量的回归方程。
- 进行预测和求最值：
- 将给定的宣传费代入回归方程，求出年销售量的预报值。
- 根据年利润与年销售量和年宣传费的关系，求出年利润的预报值。
- 建立年利润关于年宣传费的函数，利用二次函数的性质求出年利润预报值最大时的年宣传费。
（1）判断回归方程类型
由散点图的分布特征可以判断，$y = c + d\sqrt{x}$ 适合作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 $x$ 的回归方程类型。
（2）建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程
令 $\omega = \sqrt{x}$，先建立 $y$ 关于 $\omega$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{c} + \hat{d}\omega$。
根据线性回归方程系数计算公式 $\hat{d}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(\omega_{i}-\overline{\omega})(y_{i}-\overline{y})}{\sum_{i = 1}^{n}(\omega_{i}-\overline{\omega})^{2}}$，已知 $\sum_{i = 1}^{8}(\omega_{i}-\overline{\omega})(y_{i}-\overline{y}) = 108.8$，$\sum_{i = 1}^{8}(\omega_{i}-\overline{\omega})^{2} = 1.6$，则：
$\hat{d}=\frac{108.8}{1.6}=68$
又因为 $\overline{y} = 563$，$\overline{\omega} = 6.8$，根据 $\hat{c}=\overline{y}-\hat{d}\overline{\omega}$ 可得：
$\hat{c}=563 - 68\times6.8 = 563 - 462.4 = 100.6$
所以 $y$ 关于 $\omega$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 100.6 + 68\omega$。
将 $\omega = \sqrt{x}$ 代回，得到 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = 100.6 + 68\sqrt{x}$。
（3）进行预测和求最值
① 当 $x = 49$ 时，年销量 $y$ 的预报值为：
$\hat{y}=100.6 + 68\sqrt{49}=100.6 + 68\times7 = 100.6 + 476 = 576.6$
年利润的预报值为：
$\hat{z}=0.2\hat{y}-x = 576.6\times0.2 - 49 = 115.32 - 49 = 66.32$
所以年宣传费为 $49$ 千元时，年销售量的预报值为 $576.6t$，年利润的预报值为 $66.32$ 千元。
② 年利润 $z$ 的预报值为：
$\hat{z}=0.2\hat{y}-x = 0.2(100.6 + 68\sqrt{x}) - x = -x + 13.6\sqrt{x} + 20.12$
令 $t = \sqrt{x}(t\gt0)$，则 $\hat{z}=-t^{2}+13.6t + 20.12$。
对于二次函数 $y = -t^{2}+13.6t + 20.12$，其二次项系数 $a = -1\lt0$，图象开口向下，对称轴为 $t = -\frac{b}{2a}=-\frac{13.6}{2\times(-1)} = 6.8$。
所以当 $t = 6.8$ 时，$\hat{z}$ 取得最大值，此时 $\sqrt{x} = 6.8$，则 $x = 6.8^{2} = 46.24$。
所以年宣传费为 $46.24$ 千元时，年利润的预报值最大。