题目
曲线 x=t-sin t, y=-cos t, z=4sin (t)/(2) 在 t=(pi)/(2) 处切线的方向向量为() A. overrightarrow(T)=(1,sqrt(2),1)B. overrightarrow(T)=(sqrt(2),1,1)C. overrightarrow(T)=(sqrt(2),sqrt(2),1)D. overrightarrow(T)=(1,1,sqrt(2))
曲线 $x=t-\sin t$, $y=-\cos t$, $z=4\sin \frac{t}{2}$ 在 $t=\frac{\pi}{2}$ 处切线的方向向量为()
- A. $\overrightarrow{T}=(1,\sqrt{2},1)$
- B. $\overrightarrow{T}=(\sqrt{2},1,1)$
- C. $\overrightarrow{T}=(\sqrt{2},\sqrt{2},1)$
- D. $\overrightarrow{T}=(1,1,\sqrt{2})$
题目解答
答案
为了找到曲线 $x = t - \sin t$, $y = -\cos t$, $z = 4 \sin \frac{t}{2}$ 在 $t = \frac{\pi}{2}$ 处切线的方向向量，我们需要计算 $t = \frac{\pi}{2}$ 处的切向量。切向量由位置向量 $\mathbf{r}(t)$ 关于 $t$ 的导数给出。
位置向量 $\mathbf{r}(t)$ 为：
\[
\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (t - \sin t, -\cos t, 4 \sin \frac{t}{2})
\]
首先，我们找到 $\mathbf{r}(t)$ 的导数：
\[
\mathbf{r}'(t) = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) = \left( 1 - \cos t, \sin t, 4 \cos \frac{t}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) = (1 - \cos t, \sin t, 2 \cos \frac{t}{2})
\]
接下来，我们在 $t = \frac{\pi}{2}$ 处评估 $\mathbf{r}'(t)$：
\[
\mathbf{r}'\left( \frac{\pi}{2} \right) = \left( 1 - \cos \frac{\pi}{2}, \sin \frac{\pi}{2}, 2 \cos \frac{\pi}{4} \right) = \left( 1 - 0, 1, 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = (1, 1, \sqrt{2})
\]
因此，曲线在 $t = \frac{\pi}{2}$ 处切线的方向向量为：
\[
\boxed{D}
\]
解析
步骤 1：计算位置向量 $\mathbf{r}(t)$
位置向量 $\mathbf{r}(t)$ 为： \[ \mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (t - \sin t, -\cos t, 4 \sin \frac{t}{2}) \]
步骤 2：计算位置向量 $\mathbf{r}(t)$ 的导数 $\mathbf{r}'(t)$
位置向量 $\mathbf{r}(t)$ 的导数为： \[ \mathbf{r}'(t) = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) = \left( 1 - \cos t, \sin t, 4 \cos \frac{t}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) = (1 - \cos t, \sin t, 2 \cos \frac{t}{2}) \]
步骤 3：在 $t = \frac{\pi}{2}$ 处评估 $\mathbf{r}'(t)$
在 $t = \frac{\pi}{2}$ 处，$\mathbf{r}'(t)$ 的值为： \[ \mathbf{r}'\left( \frac{\pi}{2} \right) = \left( 1 - \cos \frac{\pi}{2}, \sin \frac{\pi}{2}, 2 \cos \frac{\pi}{4} \right) = \left( 1 - 0, 1, 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = (1, 1, \sqrt{2}) \]
位置向量 $\mathbf{r}(t)$ 为： \[ \mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (t - \sin t, -\cos t, 4 \sin \frac{t}{2}) \]
步骤 2：计算位置向量 $\mathbf{r}(t)$ 的导数 $\mathbf{r}'(t)$
位置向量 $\mathbf{r}(t)$ 的导数为： \[ \mathbf{r}'(t) = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) = \left( 1 - \cos t, \sin t, 4 \cos \frac{t}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) = (1 - \cos t, \sin t, 2 \cos \frac{t}{2}) \]
步骤 3：在 $t = \frac{\pi}{2}$ 处评估 $\mathbf{r}'(t)$
在 $t = \frac{\pi}{2}$ 处，$\mathbf{r}'(t)$ 的值为： \[ \mathbf{r}'\left( \frac{\pi}{2} \right) = \left( 1 - \cos \frac{\pi}{2}, \sin \frac{\pi}{2}, 2 \cos \frac{\pi}{4} \right) = \left( 1 - 0, 1, 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = (1, 1, \sqrt{2}) \]