题目
设某种木材的含水率 X ( % ) 服从正态分布,若 6 个 该种木材样品的含水率平均值为overline (X)=12.22 ,标准差为overline (X)=12.22. 求该种木材的平均含水率的 90 % 的置信区间.
设某种木材的含水率 X ( % ) 服从正态分布,若 6 个 该种木材样品的含水率平均值为
,标准差为
. 求该种木材的平均含水率的 90 % 的置信区间.
题目解答
答案
由题意，均值为 ,标准差为，
。构造T统计量，有
，推测出求其置信区间为,且查表有
，故
所以该种木材的平均含水率的 90 % 的置信区间为
。
解析
步骤 1：构造T统计量
根据题意，已知样本均值$\overline {X}=12.22$，样本标准差S=2.01，样本容量n=6。由于总体标准差未知，我们使用样本标准差来构造T统计量，即$T=\dfrac {\overline {X}-\mu }{S/\sqrt {n}}\sim t(n-1)$，其中$\mu$是总体均值，t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。
步骤 2：确定置信水平和自由度
题目要求求出90%的置信区间，即置信水平为0.90，因此$\alpha=1-0.90=0.10$。自由度为n-1=6-1=5。
步骤 3：查t分布表
查t分布表，找到自由度为5，置信水平为0.90的t值，即$t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)=t_{0.95}(5)=2.015$。
步骤 4：计算置信区间
根据置信区间的计算公式，有$(\overline {X}-t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline {X}+t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})$，代入已知数值，得到$(12.22-2.015\frac{2.01}{\sqrt{6}},12.22+2.015\frac{2.01}{\sqrt{6}})$，计算得到$(10.57,13.87)$。
根据题意，已知样本均值$\overline {X}=12.22$，样本标准差S=2.01，样本容量n=6。由于总体标准差未知，我们使用样本标准差来构造T统计量，即$T=\dfrac {\overline {X}-\mu }{S/\sqrt {n}}\sim t(n-1)$，其中$\mu$是总体均值，t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。
步骤 2：确定置信水平和自由度
题目要求求出90%的置信区间，即置信水平为0.90，因此$\alpha=1-0.90=0.10$。自由度为n-1=6-1=5。
步骤 3：查t分布表
查t分布表，找到自由度为5，置信水平为0.90的t值，即$t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)=t_{0.95}(5)=2.015$。
步骤 4：计算置信区间
根据置信区间的计算公式，有$(\overline {X}-t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline {X}+t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})$，代入已知数值，得到$(12.22-2.015\frac{2.01}{\sqrt{6}},12.22+2.015\frac{2.01}{\sqrt{6}})$，计算得到$(10.57,13.87)$。