题目
设总体 X 服从二项分布 B ( 1 , p ) , _(1),(X)_(2),... ,(X)_(n) 是来自 X 的样本由中心极限定理知当 n 充分大时随机变量 _(1),(X)_(2),... ,(X)_(n) 近似服从于 A N ( 0 , 1 )B B ( n , p ) C B ( 1 , p ) D_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)
设总体 X 服从二项分布 B ( 1 , p ) , 
是来自 X 的样本由中心极限定理知当 n 充分大时随机变量 
近似服从于
A N ( 0 , 1 )
B B ( n , p )
C B ( 1 , p )
D
题目解答
答案
∵
由中心极限定理可 得, 当 n 充分大时, 随机变量
近似服从
故选D。
解析
步骤 1：计算期望值
由于 X 服从二项分布 B(1, p)，则 X 可以取值为 0 或 1，且 P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p。因此，对于每个样本 $X_i$，其期望值为 $E(X_i) = p$。由于 ${{X}_{i}}^{2}$ 与 $X_i$ 有相同的取值，即 ${{X}_{i}}^{2}$ 也服从二项分布 B(1, p)，因此 $E({{X}_{i}}^{2}) = p$。
步骤 2：计算方差
对于每个样本 $X_i$，其方差为 $D(X_i) = p(1-p)$。由于 ${{X}_{i}}^{2}$ 与 $X_i$ 有相同的取值，因此 $D({{X}_{i}}^{2}) = p(1-p)$。
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量 n 充分大时，随机变量 ${z}_{n}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$ 的分布近似于正态分布。其期望值为 $E({z}_{n}) = E(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}) = \dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}E({{X}_{i}}^{2}) = p$。其方差为 $D({z}_{n}) = D(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}) = \dfrac {1}{{n}^{2}}\sum _{i=1}^{n}D({{X}_{i}}^{2}) = \dfrac {p(1-p)}{n}$。
由于 X 服从二项分布 B(1, p)，则 X 可以取值为 0 或 1，且 P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p。因此，对于每个样本 $X_i$，其期望值为 $E(X_i) = p$。由于 ${{X}_{i}}^{2}$ 与 $X_i$ 有相同的取值，即 ${{X}_{i}}^{2}$ 也服从二项分布 B(1, p)，因此 $E({{X}_{i}}^{2}) = p$。
步骤 2：计算方差
对于每个样本 $X_i$，其方差为 $D(X_i) = p(1-p)$。由于 ${{X}_{i}}^{2}$ 与 $X_i$ 有相同的取值，因此 $D({{X}_{i}}^{2}) = p(1-p)$。
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量 n 充分大时，随机变量 ${z}_{n}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$ 的分布近似于正态分布。其期望值为 $E({z}_{n}) = E(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}) = \dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}E({{X}_{i}}^{2}) = p$。其方差为 $D({z}_{n}) = D(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}) = \dfrac {1}{{n}^{2}}\sum _{i=1}^{n}D({{X}_{i}}^{2}) = \dfrac {p(1-p)}{n}$。