题目
12.证明：f(x)为[a,b]上连续函数的充要条件是对任意实数c，E_(1)=x：f(x)geqslant c和E_(2)=x：(x)leqslant c都是闭集.
12.证明：f(x)为[a,b]上连续函数的充要条件是对任意实数c，$E_{1}=\{x：f(x)\geqslant c\}$和$E_{2}=\{x：(x)\leqslant c\}$都是闭集.
题目解答
答案
**必要性：**
若 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续，对任意实数 $ c $，集合 $ E_1 = \{x : f(x) \geq c\} $ 和 $ E_2 = \{x : f(x) \leq c\} $ 分别为闭集，因为连续函数的逆像保持闭性。
**充分性：**
假设 $ f(x) $ 在某点 $ x_0 $ 不连续，则存在 $ \xi_0 > 0 $ 和点列 $ \{x_n\} $ 收敛于 $ x_0 $，满足 $ |f(x_n) - f(x_0)| \geq \xi_0 $。不妨设 $ f(x_n) \geq f(x_0) + \xi_0 $，令 $ c = f(x_0) + \xi_0 $，则 $ x_n \in E_1 $。由 $ E_1 $ 闭性知 $ x_0 \in E_1 $，即 $ f(x_0) \geq c $，矛盾。同理，若 $ f(x_n) \leq f(x_0) - \xi_0 $，令 $ c = f(x_0) - \xi_0 $，得矛盾。
**结论：**
$ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续当且仅当对任意实数 $ c $，集合 $ E_1 = \{x : f(x) \geq c\} $ 和 $ E_2 = \{x : f(x) \leq c\} $ 均为闭集。
\[
\boxed{
\text{$ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续 $\iff$ 对任意实数 $ c $，$ E_1 $ 和 $ E_2 $ 均为闭集。}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查连续函数的闭集逆像性质及其逆命题的证明，涉及实数连续性、闭集定义及反证法的应用。
解题核心思路：
- 必要性：利用连续函数的性质，证明闭集的逆像仍为闭集。
- 充分性：通过反证法，假设函数在某点不连续，构造矛盾，说明函数必须连续。
破题关键点：
- 必要性的关键在于理解连续函数将闭集映射为闭集的逆像性质。
- 充分性需结合闭集的极限点性质，若存在不连续点，则可构造点列使闭集的极限点不属于该集合，导致矛盾。
必要性证明
步骤1：利用连续函数的闭集逆像性质
若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则对任意实数$c$，集合$E_1 = \{x : f(x) \geq c\}$和$E_2 = \{x : f(x) \leq c\}$分别是$f$的闭集$[c,+\infty)$和$(-\infty,c]$的逆像。
关键结论：连续函数的逆像保持闭性，因此$E_1$和$E_2$均为闭集。
充分性证明
步骤1：反证法假设
假设$f(x)$在$[a,b]$上不连续，则存在某点$x_0 \in [a,b]$及$\xi_0 > 0$，使得存在点列$\{x_n\} \subset [a,b]$满足$x_n \to x_0$但$|f(x_n) - f(x_0)| \geq \xi_0$。
步骤2：分情况讨论
- 情况1：若$f(x_n) \geq f(x_0) + \xi_0$，令$c = f(x_0) + \xi_0$，则$x_n \in E_1$。
关键矛盾：因$E_1$为闭集，极限点$x_0$应属于$E_1$，即$f(x_0) \geq c = f(x_0) + \xi_0$，矛盾。 - 情况2：若$f(x_n) \leq f(x_0) - \xi_0$，令$c = f(x_0) - \xi_0$，则$x_n \in E_2$。
关键矛盾：同理，$x_0$应属于$E_2$，即$f(x_0) \leq c = f(x_0) - \xi_0$，矛盾。
结论：假设不成立，故$f(x)$在$[a,b]$上连续。