例5 证明:当 _(0)gt 0 时, lim _(xarrow {x)_(0)}sqrt (x)=sqrt ({x)_(0)} -

考查要点：本题主要考查利用极限的ε-δ定义证明函数极限，重点在于掌握根号函数在一点处的连续性证明方法。

解题核心思路：

1. 分子有理化：将根号差转化为分式形式，便于估计大小。
2. 分母下界估计：通过限制$x$的范围，找到分母的最小值，从而控制整体表达式的上界。
3. δ的选择：综合考虑保证分母下界和满足误差条件的两个因素，取δ为两者的较小值。

破题关键点：

• 关键变形：$\sqrt{x} - \sqrt{x_0} = \dfrac{x - x_0}{\sqrt{x} + \sqrt{x_0}}$，将根号差转化为分式。
• 分母下界：通过限制$|x - x_0| < x_0$保证$x \geq 0$，从而$\sqrt{x} + \sqrt{x_0} \geq \sqrt{x_0}$。
• δ的取法：取$\delta = \min\{x_0, \sqrt{x_0} \cdot \varepsilon\}$，同时满足定义域和误差要求。

步骤1：分子有理化
根据根号差公式，变形得：
$|\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| = \left| \dfrac{x - x_0}{\sqrt{x} + \sqrt{x_0}} \right| = \dfrac{|x - x_0|}{\sqrt{x} + \sqrt{x_0}}.$

步骤2：估计分母下界
当$|x - x_0| < x_0$时，$x \geq x_0 - x_0 = 0$，此时$\sqrt{x}$有意义。
进一步，$\sqrt{x} + \sqrt{x_0} \geq \sqrt{x_0}$（因为$\sqrt{x} \geq 0$），因此：
$\dfrac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x_0}} \leq \dfrac{1}{\sqrt{x_0}}.$

步骤3：联立不等式
结合上述结果，有：
$|\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| \leq \dfrac{1}{\sqrt{x_0}} |x - x_0|.$

步骤4：选择δ
要使$\dfrac{1}{\sqrt{x_0}} |x - x_0| < \varepsilon$，只需$|x - x_0| < \sqrt{x_0} \cdot \varepsilon$。
同时，需保证$|x - x_0| < x_0$以确保$x \geq 0$。
因此，取$\delta = \min\{x_0, \sqrt{x_0} \cdot \varepsilon\}$。

步骤5：结论
当$0 < |x - x_0| < \delta$时，$|\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| < \varepsilon$，故极限成立。