【题目】在总体 N(52,6.3^2) 中随即抽取一容量为36的样本,求样本均值x落在50.8到53.8之间的概率。

考查要点：本题主要考查正态分布下样本均值的概率计算，涉及中心极限定理的应用以及标准正态分布的转换与查表。

解题核心思路：

1. 确定样本均值的分布：根据中心极限定理，样本均值服从正态分布，均值为总体均值，标准差为总体标准差除以样本容量的平方根。
2. 标准化转换：将样本均值的区间转化为标准正态分布的Z值。
3. 查标准正态分布表：计算对应Z值的概率差值，得到最终结果。

破题关键点：

• 正确计算样本均值的标准差：$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
• 准确计算Z值并查表：注意符号和小数位数的处理。

步骤1：确定样本均值的分布

总体服从$N(52, 6.3^2)$，样本容量$n=36$，则样本均值$\bar{X}$的分布为：
$\bar{X} \sim N\left(52, \left(\frac{6.3}{\sqrt{36}}\right)^2\right) = N(52, 1.05^2)$

步骤2：计算区间端点的Z值

• 下限$50.8$对应的Z值：
  $Z_1 = \frac{50.8 - 52}{1.05} = \frac{-1.2}{1.05} \approx -1.14$
• 上限$53.8$对应的Z值：
  $Z_2 = \frac{53.8 - 52}{1.05} = \frac{1.8}{1.05} \approx 1.71$

步骤3：查标准正态分布表

• $Z_1 = -1.14$对应的累积概率为$\Phi(-1.14) \approx 0.1271$。
• $Z_2 = 1.71$对应的累积概率为$\Phi(1.71) \approx 0.9564$。

步骤4：计算概率差值

所求概率为：
$P(50.8 \leq \bar{X} \leq 53.8) = \Phi(1.71) - \Phi(-1.14) = 0.9564 - 0.1271 = 0.8293$