设总体approx N(mu ,(sigma )^2) 2已知而approx N(mu ,(sigma )^2) 2为未知参数，approx N(mu ,(sigma )^2) 2是从总体approx N(mu ,(sigma )^2) 2中抽取的样本，记approx N(mu ,(sigma )^2) 2，又approx N(mu ,(sigma )^2) 2表示标准正态分布的分布函数，已知Ф（1.96）=0.975，Ф(1.28)=0.90，则approx N(mu ,(sigma )^2) 2的置信度为0.95的置信区间是（ ）。A. approx N(mu ,(sigma )^2) 2 B. approx N(mu ,(sigma )^2) 2 C. approx N(mu ,(sigma )^2) 2 D. approx N(mu ,(sigma )^2) 2

本问题目主要考察的是正态分布总体均值的区间区间估计知识点，具体为当总体方差已知时，如何计算总体均值$\mu$的置信区间。

关键知识点回顾

当总体$X\sim N(\mu,\sigma^2)$且方差$\(\sigma^2$已知已知时，总体均值$\mu$的置信度为$1-\alpha$的置信区间公式为：
$\left( \bar{X} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\}{\sqrt{n}}, \bar{X} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$
其中：

• $\bar{X}$为样本均值，$z_{\alpha/2}$为标准正态分布的上$\alpha/2$分位数，即$P\{Z > z_{\alpha/2}\} = \alpha/2$，$Z\sim N(0,1)$。

题目条件分析

• 置信度为$0.95$，则$1-\alpha=0.95$，故$\alpha=0.05$，$\alpha/2=0.025$。
• 需找到$z_{0.025}$，即满足$P\{Z > z_{0.025\}=0.025$的分位数，等价于$\Phi(z_{0.025})=1-0.025=0.975$。
• 题目已知$\Phi(1.96)=0.975$，故$z_{0.025}=1.96$。

选项匹配匹配,验证

将$z_{\alpha/2}=1.96$代入置信区间公式，得：
$\left( \bar{X - 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \barX + 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$
与选项B完全一致。