二的-|||-(2)设 =ln X, 且Y的概率密度为 _(Y)(y)= ) lambda (e)^-lambda y,ygt 0 0, yleqslant 0 . 其中 lambda gt 1 为未知参数,-|||-设X1,X2,···,Xn为来自总体X的一个样本,X、S^2分别为样本均值和样本方差,-|||-则EX的最大似然估计量为 __

本题考查最大似然估计的应用，涉及概率密度函数变换和参数估计。解题核心在于：

1. 确定X的分布：由Y=lnX且Y服从指数分布，推导出X的概率密度函数；
2. 建立似然函数：根据样本X₁,X₂,…,Xₙ，写出似然函数并取对数；
3. 求导求解：对参数λ求偏导，解得λ的最大似然估计量；
4. 代入期望表达式：将λ的估计量代入E(X)=λ/(λ−1)，得到最终结果。

步骤1：确定X的分布

由Y=lnX，Y的概率密度函数为$f_Y(y)=λe^{-λy}$（y>0），得X的概率密度函数：
$f_X(x) = f_Y(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = λx^{-(λ+1)} \quad (x>1)$

步骤2：建立似然函数

样本X₁,X₂,…,Xₙ的似然函数为：
$L(λ) = \prod_{i=1}^n λx_i^{-(λ+1)} = λ^n \cdot \prod_{i=1}^n x_i^{-(λ+1)}$

步骤3：求对数似然并求导

取对数并对λ求导：
$\ln L(λ) = n\lnλ - (λ+1)\sum_{i=1}^n \ln x_i \\ \frac{\partial}{\partialλ} \ln L(λ) = \frac{n}{λ} - \sum_{i=1}^n \ln x_i = 0$
解得λ的最大似然估计量：
$\hat{λ} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i}$

步骤4：计算E(X)的估计量

由E(X)=λ/(λ−1)，代入$\hat{λ}$得：
$\hat{E(X)} = \frac{\hat{λ}}{\hat{λ}-1} = \frac{\frac{n}{\sum \ln x_i}}{\frac{n}{\sum \ln x_i} - 1} = \frac{n}{n - \sum \ln x_i}$