题目

一、选择题-|||-1.设 (x)=(3)^x-(x)^2, 则在下列区间中,使函数f(x)有-|||-零点的区间是 ()-|||-A.[0,1] B.[1,2]-|||-C. [ -2,-1] D. [ -1,0] -|||-2.方程 ^-x+(x)^2=3 的实数解的个数为 ()-|||-A.2 B.3-|||-C.1 D.4-|||-3.函数 (x)=(e)^x+3x 的零点个数是 ()-|||-A.0 B.1-|||-C.2 D.3-|||-4.函数 (x)=ln x-dfrac (1)(x-1) 的零点个数是 ()-|||-A.0 B.1-|||-C.2 D.3-|||-5. 已知实数 gt 1, lt blt 1,-|||-则函数 (x)=(a)^x+x-b 的零点所在的区间是-|||-()-|||-A. (-2,-1) B. (-1,0)-|||-C.(0,1) D.(1,2)-|||-6.若方程 ln x+x-4=0 在区间 (a,b)(a,bin Z, 且b-|||--a=1) 上有一根,则a的值为 ()-|||-A.1 B.2-|||-C.3 D.4-|||-7.已知函数 f(x)= D. dfrac {15)(16)-|||-8.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象连续-|||-不断,且满足 (x+2)=f(x), 则以下结论成立-|||-的是 ()-|||-A.函数f(x)的周期 T=2-|||-B. f(2019)=f(2020)=0-|||-C.点(1,0)是函数 y=f(x) 图象的一个对称中心-|||-D.f(x)在 [ -2,2] 上有4个零点

题目解答

答案

解析

一、选择题解析

1. 函数(3^x - x²)的零点区间

考点：零点存在性定理（若f(a)·f(b)<0，则区间(a,b)内有零点）

  • 选项A[0,1]：f(0)=1-0=1>0，f(1)=3-1=2>0，f(0)f(1)>0，无零点；
  • 选项B[1,2]：f(1)=2>0，f(2)=9-4=5>0，f(1)f(2)>0，无零点；
  • 选项C[-2,-1]：f(-2)=1/9 - 4<0，f(-1)=1/3 - 1<0，f(-2)f(-1)>0，无零点；
  • 选项D[-1,0]：f(-1)=1/3 - 1=-2/3<0，f(0)=1>0，f(-1)f(0)<0，有零点。
    答案：D

2. 方程(2^{-x} + x²=3)的实数解个数

转化：令f(x)=2^{-x} + x² - 3，求f(x)=0的零点个数。

  • x>0时：f(0)=1+0-3=-2<0，f(1)=1/2+1-3=-32<0，f(2)=14+4-3=54>0，f(1)f(2)<0，有1个零点；
  • x<0时：f(-1)=2+1-3=0，f(-1)=0是零点；f(-2)=4+4-3=5>0，f(-1)f(-2)=0，无新零点？f(-1)=0，f(-∞)=+∞，f(-1)=0左侧f(x)递减（2^{-x}递减，x²递增），仅f(-1)=0一个零点；
  • x=0时：f(0)=-2≠0。
    共2个零点。
    答案：A

3. 函数(e^x + 3x)的零点个数

分析：e^x>0，3x单调，f(x)=e^x + 3x严格单调递增（导数f’=e^x + 3>0），x→-∞时f(x)→-∞，x→+∞时f(x)→+∞，仅1个零点。
答案：B

4. 函数(lnx - 1/(x-1))的零点个数

定义域：x>0且x≠1。

  • (0,1)时：lnx<0，1/(x-1)<0，f(x)=lnx - 1/(x-1)=lnx + 1/(1-x)，x→0+时→-∞，x→1-时→+∞，连续，故(0,1)有1个零点；
  • (1,+∞)时：lnx>0，1/(x-1)>0，f(x)=lnx - 1/(x-1，x=2时ln2 - 1≈-0.306<0，x=e时1 - 1/(e-1≈0.632>0，f(2)f(e)<0，有1个零点；
  • x=1,+∞)各1个，共2个。
    答案：C**

5. 函数(a^x + x - b)的零点区间(a>1,0<b<1)

分析：f(x)=a^x + x - b，a>1增，f(x)严格单调递增（导数a^x ln a + 1>0）。

  • **f(-1)=a^{-1} -1 - b=1/a - 1 - b<0（a>1→1/a<1，0<b<1→-1 - b>-1→1/a -1 -b<1-1-0=0）；
  • **f(0)=a^0 + 0 - b=1 - b>0（0<b<1）；
  • f(-1)f(0)<0，零点在(-(-1,0)。
    答案：B

6. 方程(lnx + x - 4=0)的根所在区间(a,b)(b-a=1,a,b∈Z)

**令f(x)=lnx + x - 4，单调递增（导数1/x + 1>0）。

  • f(2)=ln2 + 2 - 4≈0.693 - 2≈-1.307<0；
  • f(3)=ln3 + 3 - 4≈1.098 - 1=0.098>0；
  • f(2)f(3)<0，根在(2,3)，a=2。
    答案：B

7. 分段函数f(x)的零点差最小值

分段零点：

  • x≥0时：√x - t=0→x1=t²（t>0）；
  • x<0时：2(x+1)-t=0→x2=t/2 - 1（t<2）；
  • 两零点条件(x1>x2→t²>t/2 -1→t² - t/2 + 1>0恒成立)，t∈(0,2)；
  • x2=t² - (t/2 - 1)=t² - t/2 + 1，求最小值：二次函数t² - t/2 + 1对称轴t=1/4，最小值=(1/16) - 1/8 + 1=15/16。
    答案：D

8. 奇函数f(x)周期2的结论

  • A：f(x+2)=f(x)→周期T=2，正确；
  • B：f(2019)=f(1)（2019=2×1009+1），f(2020)=f(0)=0（奇→f(0)=0），f(1)=-f(-1)=-f(1)→f(1)=0，故f(2019)=f(2020)=0，正确；
  • C：奇→对称中心(0,0)，周期2→→f(1+x)=f(1-x)，对称中心(1,0)，正确；
  • D：[-2,2]零点可能为-2,-1,0,1,2（若f(1)=0则5个），不一定4个，错误。
    答案：ABC