24.不定积分int(dx)/(x(x+1))的结果为（）A. ln|(x+1)/(x)|+CB. ln|(x)/(x+1)|+CC. ln(x+1)/(x)+CD. ln(x)/(x+1)+C

本题考查不定积分的计算，解题思路是先对被积函数进行部分分式分解，然后分别对分解后的式子进行积分，最后得出结果。

1. 对被积函数进行部分分式分解：
   设$\frac{1}{x(x + 1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x + 1}$，通分可得：
   $\frac{1}{x(x + 1)}=\frac{A(x + 1)+Bx}{x(x + 1)}$
   则$1 = A(x + 1)+Bx$。
   令$x = 0$，可得$1 = A(0 + 1)+B\times0$，即$A = 1$。
   令$x = -1$，可得$1 = A(-1 + 1)+B\times(-1)$，即$B = -1$。
   所以$\frac{1}{x(x + 1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 1}$。
2. 计算不定积分：
   $\int\frac{dx}{x(x + 1)}=\int(\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 1})dx$
   根据不定积分的性质$\int(f(x)-g(x))dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$，可得：
   $\int(\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 1})dx=\int\frac{1}{x}dx-\int\frac{1}{x + 1}dx$
   根据基本积分公式$\int\frac{1}{u}du=\ln|u| + C$，对于$\int\frac{1}{x}dx$，$u = x$，则$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x| + C_1$；
   对于$\int\frac{1}{x + 1}dx$，令$u = x + 1$，则$du = dx$，所以$\int\frac{1}{x + 1}dx=\int\frac{1}{u}du=\ln|u| + C_2=\ln|x + 1| + C_2$。
   因此$\int\frac{dx}{x(x + 1)}=\ln|x| - \ln|x + 1| + C$（$C = C_1 - C_2$）。
3. 利用对数运算法则化简结果：
   根据对数运算法则$\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$，可得：
   $\ln|x| - \ln|x + 1| + C=\ln|\frac{x}{x + 1}| + C$