(int )_(1)^2(2xln x+x)dx =（ ） A．4ln2 B．4ln2+1 C．4ln2+3 D．3ln2+3

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是寻找被积函数的原函数的能力。

解题核心思路：观察被积函数$2x\ln x + x$，发现其可以视为某个函数的导数。通过构造法，找到原函数$x^2 \ln x$，直接应用微积分基本定理计算定积分。

破题关键点：

1. 识别被积函数的结构，发现$2x\ln x + x$是$x^2 \ln x$的导数。
2. 正确代入上下限，注意$\ln 1 = 0$的简化计算。

步骤1：寻找原函数
设函数$F(x) = x^2 \ln x$，计算其导数：
$F'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 \ln x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x.$
因此，$F(x)$是被积函数$2x \ln x + x$的原函数。

步骤2：计算定积分
根据微积分基本定理：
$\int_{1}^{2} (2x \ln x + x) \, dx = F(2) - F(1).$
代入上下限：
$F(2) = 2^2 \ln 2 = 4 \ln 2, \quad F(1) = 1^2 \ln 1 = 0.$
因此，积分结果为：
$4 \ln 2 - 0 = 4 \ln 2.$