题目

3.设X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的样本，在下列三种情况下，分别写出样本X_(1),X_(2),...,X_(n)的分布列或概率密度函数.(1)总体X服从几何分布，其分布列为PX=x=(1-p)^x-1p,0<1,x=1,2,...;(2)总体X服从指数分布，其概率密度函数为f(x)=}lambda e^-lambda x,&x>0.0,&其他,其中lambda>0;(3)总体X的概率密度函数为f(x)=(lambda)/(2)e^-lambda| x |，-infty<infty，其中lambda>0.

3.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的样本，在下列三种情况下，分别写出样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$的分布列或概率密度函数. (1)总体X服从几何分布，其分布列为$P\{X=x\}=(1-p)^{x-1}p,0

<1,x=1,2,\cdots$; (2)总体X服从指数分布，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x>0.\\0,&其他,\end{cases}$其中$\lambda>0$; (3)总体X的概率密度函数为$f(x)=\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda| x |}$，$-\infty<\infty$，其中$\lambda>0$.

题目解答

答案

为了找到样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的分布列或概率密度函数，我们需要考虑总体 $X$ 的分布，然后将这个分布扩展到样本。让我们一步步地解决每个情况。 ### 情况1：总体 $X$ 服从几何分布总体 $X$ 的分布列为： \[ P\{X = x\} = (1-p)^{x-1}p, \quad 0 < p < 1, \quad x = 1, 2, \cdots \] 由于 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是独立同分布的样本，样本的联合分布列是每个个体分布列的乘积。因此，样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的联合分布列为： \[ P\{X_1 = x_1, X_2 = x_2, \cdots, X_n = x_n\} = \prod_{i=1}^n P\{X_i = x_i\} = \prod_{i=1}^n (1-p)^{x_i-1}p = p^n (1-p)^{\sum_{i=1}^n (x_i-1)} = p^n (1-p)^{\sum_{i=1}^n x_i - n} \] 所以，样本的联合分布列为： \[ \boxed{p^n (1-p)^{\sum_{i=1}^n x_i - n}} \] ### 情况2：总体 $X$ 服从指数分布总体 $X$ 的概率密度函数为： \[ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}, \quad \lambda > 0 \] 由于 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是独立同分布的样本，样本的联合概率密度函数是每个个体概率密度函数的乘积。因此，样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的联合概率密度函数为： \[ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i) = \prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda x_i} \mathbb{I}_{(x_i > 0)} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i} \mathbb{I}_{(x_1 > 0, x_2 > 0, \cdots, x_n > 0)} \] 所以，样本的联合概率密度函数为： \[ \boxed{\lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i} \mathbb{I}_{(x_1 > 0, x_2 > 0, \cdots, x_n > 0)}} \] ### 情况3：总体 $X$ 的概率密度函数为 $f(x) = \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda |x|}$ 总体 $X$ 的概率密度函数为： \[ f(x) = \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda |x|}, \quad -\infty < x < \infty, \quad \lambda > 0 \] 由于 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是独立同分布的样本，样本的联合概率密度函数是每个个体概率密度函数的乘积。因此，样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的联合概率密度函数为： \[ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda |x_i|} = \left(\frac{\lambda}{2}\right)^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n |x_i|} \] 所以，样本的联合概率密度函数为： \[ \boxed{\left(\frac{\lambda}{2}\right)^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n |x_i|}} \]

解析

考查要点：本题主要考查独立同分布样本的联合分布列或概率密度函数的求解方法，需要根据总体分布的不同形式，正确写出样本的联合表达式。

解题核心思路：

独立性：样本中每个个体相互独立，联合分布为各个体分布的乘积。
同分布性：所有个体服从相同的分布，因此乘积形式可简化为参数的幂次与变量的函数组合。
分布类型：根据总体是离散型（几何分布）、连续型（指数分布、拉普拉斯分布），分别写出对应的联合概率表达式。

破题关键点：

几何分布：离散型，联合分布列为各个体概率的乘积，注意指数部分的合并。
指数分布：连续型，联合密度函数为各个体密度的乘积，需保留指示函数限定变量范围。
拉普拉斯分布：连续型，联合密度函数为各个体密度的乘积，变量范围无限制。

第（1）题：几何分布

总体分布列为：
$P\{X = x\} = (1-p)^{x-1}p, \quad x = 1, 2, \cdots$
样本联合分布列为各个体概率的乘积：
$P\{X_1 = x_1, \cdots, X_n = x_n\} = \prod_{i=1}^n (1-p)^{x_i-1}p = p^n (1-p)^{\sum_{i=1}^n (x_i-1)}$
整理得：
$\boxed{p^n (1-p)^{\sum_{i=1}^n x_i - n}}$

第（2）题：指数分布

总体概率密度函数为：
$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
样本联合密度函数为各个体密度的乘积：
$f(x_1, \cdots, x_n) = \prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda x_i} \mathbb{I}_{(x_i > 0)} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i} \mathbb{I}_{(x_1 > 0, \cdots, x_n > 0)}$
整理得：
$\boxed{\lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i} \mathbb{I}_{(x_1 > 0, \cdots, x_n > 0)}}$

第（3）题：拉普拉斯分布

总体概率密度函数为：
$f(x) = \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda |x|}, \quad -\infty < x < \infty$
样本联合密度函数为各个体密度的乘积：
$f(x_1, \cdots, x_n) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda |x_i|} = \left(\frac{\lambda}{2}\right)^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n |x_i|}$
整理得：
$\boxed{\left(\frac{\lambda}{2}\right)^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n |x_i|}}$