题目
24.已知新生婴儿中生男孩的概率0.515，用中心极限定理近似计算在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率 .(备查数据：Φ(1)=0.8413,Φ(2)=0.9772,Φ(3)=0.9987)
24.已知新生婴儿中生男孩的概率0.515，用中心极限定理近似计算在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率 .
(备查数据：Φ(1)=0.8413,Φ(2)=0.9772,Φ(3)=0.9987)
题目解答
答案
解：设随机变量X表示新生婴儿中生男孩的人数，则X~B(10000,0.515)
E(X)=10000X0.515=5150,
在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率 :
解析
步骤 1：定义随机变量
设随机变量X表示新生婴儿中生男孩的人数，则X~B(10000,0.515)。
步骤 2：计算期望和方差
E(X)=10000×0.515=5150，
$D(X)=10000\times 0.515\times (1-0.515)=2497.75$。
步骤 3：应用中心极限定理
在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率，即求$P\{ 10000-X\geqslant X\} =P\{ X\leqslant 5000\}$。
步骤 4：标准化并计算概率
$P\{ X\leqslant 5000\} =P\{ \dfrac {X-5150}{\sqrt {2497.75}}\leqslant \dfrac {5000-5150}{\sqrt {2497.75}}\} =P\{ Z\leqslant -3\} =1-P\{ Z\leqslant 3\} =1-0.9987=0.0013$。
设随机变量X表示新生婴儿中生男孩的人数，则X~B(10000,0.515)。
步骤 2：计算期望和方差
E(X)=10000×0.515=5150，
$D(X)=10000\times 0.515\times (1-0.515)=2497.75$。
步骤 3：应用中心极限定理
在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率，即求$P\{ 10000-X\geqslant X\} =P\{ X\leqslant 5000\}$。
步骤 4：标准化并计算概率
$P\{ X\leqslant 5000\} =P\{ \dfrac {X-5150}{\sqrt {2497.75}}\leqslant \dfrac {5000-5150}{\sqrt {2497.75}}\} =P\{ Z\leqslant -3\} =1-P\{ Z\leqslant 3\} =1-0.9987=0.0013$。