题目
设独立随机变量X11,X2,···, _(n)(ngt 2) 都服从N(0,1),记-|||-overline (X)=dfrac (1)(n)((X)_(1)+(X)_(2)+... +(X)_(n)) _(i)=(X)_(i)-overline (X) =1, 2,···,n.-|||-求:1.Y,的期望和方差, i=1,2,···, n. 2.Y1与Yn的协方差
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 ${Y}_{i}$ 的期望
由于 ${X}_{i}$ 都服从 $N(0,1)$，则 ${X}_{i}$ 的期望 $E({X}_{i})=0$，方差 $Var({X}_{i})=1$。$\overline {X}$ 是 ${X}_{i}$ 的平均值，因此 $E(\overline {X})=0$。所以 ${Y}_{i}={X}_{i}-\overline {X}$ 的期望为 $E({Y}_{i})=E({X}_{i})-E(\overline {X})=0$。
步骤 2：计算 ${Y}_{i}$ 的方差
${Y}_{i}={X}_{i}-\overline {X}$，则 $Var({Y}_{i})=Var({X}_{i}-\overline {X})=Var({X}_{i})+Var(\overline {X})-2Cov({X}_{i},\overline {X})$。由于 ${X}_{i}$ 相互独立，$Var({X}_{i})=1$，$Var(\overline {X})=\frac {1}{n}$，$Cov({X}_{i},\overline {X})=\frac {1}{n}$。所以 $Var({Y}_{i})=1+\frac {1}{n}-2\frac {1}{n}=\frac {n-1}{n}$。
步骤 3：计算 ${Y}_{1}$ 与 ${Y}_{n}$ 的协方差
${Y}_{1}={X}_{1}-\overline {X}$，${Y}_{n}={X}_{n}-\overline {X}$，则 $Cov({Y}_{1},{Y}_{n})=Cov({X}_{1}-\overline {X},{X}_{n}-\overline {X})=Cov({X}_{1},{X}_{n})-Cov({X}_{1},\overline {X})-Cov(\overline {X},{X}_{n})+Cov(\overline {X},\overline {X})$。由于 ${X}_{i}$ 相互独立，$Cov({X}_{1},{X}_{n})=0$，$Cov({X}_{1},\overline {X})=\frac {1}{n}$，$Cov(\overline {X},{X}_{n})=\frac {1}{n}$，$Cov(\overline {X},\overline {X})=\frac {1}{n}$。所以 $Cov({Y}_{1},{Y}_{n})=0-\frac {1}{n}-\frac {1}{n}+\frac {1}{n}=-\frac {1}{n}$。
由于 ${X}_{i}$ 都服从 $N(0,1)$，则 ${X}_{i}$ 的期望 $E({X}_{i})=0$，方差 $Var({X}_{i})=1$。$\overline {X}$ 是 ${X}_{i}$ 的平均值，因此 $E(\overline {X})=0$。所以 ${Y}_{i}={X}_{i}-\overline {X}$ 的期望为 $E({Y}_{i})=E({X}_{i})-E(\overline {X})=0$。
步骤 2：计算 ${Y}_{i}$ 的方差
${Y}_{i}={X}_{i}-\overline {X}$，则 $Var({Y}_{i})=Var({X}_{i}-\overline {X})=Var({X}_{i})+Var(\overline {X})-2Cov({X}_{i},\overline {X})$。由于 ${X}_{i}$ 相互独立，$Var({X}_{i})=1$，$Var(\overline {X})=\frac {1}{n}$，$Cov({X}_{i},\overline {X})=\frac {1}{n}$。所以 $Var({Y}_{i})=1+\frac {1}{n}-2\frac {1}{n}=\frac {n-1}{n}$。
步骤 3：计算 ${Y}_{1}$ 与 ${Y}_{n}$ 的协方差
${Y}_{1}={X}_{1}-\overline {X}$，${Y}_{n}={X}_{n}-\overline {X}$，则 $Cov({Y}_{1},{Y}_{n})=Cov({X}_{1}-\overline {X},{X}_{n}-\overline {X})=Cov({X}_{1},{X}_{n})-Cov({X}_{1},\overline {X})-Cov(\overline {X},{X}_{n})+Cov(\overline {X},\overline {X})$。由于 ${X}_{i}$ 相互独立，$Cov({X}_{1},{X}_{n})=0$，$Cov({X}_{1},\overline {X})=\frac {1}{n}$，$Cov(\overline {X},{X}_{n})=\frac {1}{n}$，$Cov(\overline {X},\overline {X})=\frac {1}{n}$。所以 $Cov({Y}_{1},{Y}_{n})=0-\frac {1}{n}-\frac {1}{n}+\frac {1}{n}=-\frac {1}{n}$。