题目

某产品的纤度 approx N(mu ,(0.05)^2), 现抽取5根纤-|||-维测量,可得 ^2=0.03, 在显著性水平 alpha =0.0-|||-5下,问这一天纤度总体方差是否正常?即检验-|||-_(0):(sigma )^2=({sigma )_(0)}^2=(0.05)^2, _(1):(O)^2neq ({O)_(0)}^2()-|||-. 由于 ({x)_(0)}^2gt ({x)_(0)0.025}(4), 认为纤度总体方差不正-|||-常-|||-B.由于 ({x)_(0.975)}^2(5lt ({x)_(0)}^2lt ({x)_(0.025)}^2(5), 认为纤度总体-|||-方差正常-|||-. 由于 ({x)_(0.975)}^2(4lt ({x)_(0)}^2lt ({x)_(0.025)}^2), 认为纤度总体-|||-方差正常-|||-D. 由于 ({x)_(0)}^2gt ({x)_(0.05)}^2(5), 认为纤度总体方差不正chi_(0.025)^2(4), 认为纤度总体方差不正&常&B. 由于chi_(0.975)^2(5chi_(0.05)^2(5), 认为纤度总体方差不正&常 end (aligned)" data-width="402" data-height="382" data-size="47946" data-format="png" style="max-width:100%">

$\begin {aligned} &某产品的纤度X {{\sim}} N\left(\mu, 0.05^2\right), 现抽取 5 根纤\\&维测量, 可得 S ^2=0.03, 在显著性水平 \alpha= 0.0\\&5 下, 问这一天纤度总体方差是否正常? 即检验\\& H _0: \sigma^2=\sigma_0^2=0.05^2, H _1: \sigma^2 {{\neq}} \sigma_0^2({{\quad}})\\ &A. 由于 \chi_0^2>\chi_{0.025}^2(4), 认为纤度总体方差不正\\&常\\ &B. 由于\chi_{0.975}^2(5<\chi_0^2<\chi_{0.025}^2(5), 认为纤度总体\\&方差正常\\ &C. 由于\chi_{0.975}^2(4<\chi_0^2<\chi_{0.025}^2(4), 认为纤度总体\\&方差正常\\ &D. 由于 \chi_0^2>\chi_{0.05}^2(5), 认为纤度总体方差不正\\&常 \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &要检验纤度总体方差是否正常，可以使用卡方\\&检验。首先，建立假设如下： \\ &- 零假设 H_0：总体方差等于给定值 \sigma_0^2 = 0.0\\&5^2 \\ &- 备择假设 H_1：总体方差不等于给定值 \sigma_0^2 =\\& 0.05^2 \\ &卡方检验的统计量为： \\ &\chi_0^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \\ &其中，n 是样本容量，S^2 是样本方差，\sigma_0^2 是\\&给定的总体方差。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &在这里，n = 5，S^2 = 0.03，\sigma_0^2 = 0.05^2。将\\&这些值代入公式计算 \chi_0^2： \\ &\chi_0^2 = \frac{(5-1) \times 0.03}{(0.05^2)} = \frac{4 \times 0.03}{0.0025} = 48 \\ &接下来，我们需要根据显著性水平 \alpha=0.05 来\\&确定临界值。由于备择假设是双尾检验，我们\\&需要找到 \chi_{0.025}^2(4) 和 \chi_{0.975}^2(4)。 \\ &根据卡方分布表或计算工具，\chi_{0.025}^2(4) \approx 9.\\&488 和 \chi_{0.975}^2(4) \approx 0.711。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &现在，我们可以比较 \chi_0^2 与临界值来做出决策\\&： \\ &- 如果 \chi_0^2 落在 (\chi_{0.025}^2(4), \chi_{0.975}^2(4)) 范围\\&内，我们接受零假设 H_0，即认为纤度总体方\\&差正常。 \\ &- 如果 \chi_0^2 超过这个范围，我们拒绝零假设 H_0\\&，即认为纤度总体方差不正常。 \\ &现在，我们可以进行决策： \\ &\chi_{0.025}^2(4) \approx 9.488 < \chi_0^2 = 48 < \chi_{0.975}^2(4) \\&\approx 0.711 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &由于 \chi_0^2 超出了 (\chi_{0.025}^2(4), \chi_{0.975}^2(4)) 范围\\&，我们拒绝零假设 H_0。因此，根据显著性水\\&平 \alpha=0.05，我们认为纤度总体方差不正常。 \\ &所以，答案是： \\ &A. 由于 \chi_0^2>\chi_{0.025}^2(4), 认为纤度总体方\\&差不正常。 \end {aligned}$

解析

步骤 1：确定假设检验的类型
这是一个关于总体方差的假设检验问题。我们使用卡方分布来检验总体方差是否等于某个特定值。在这个问题中，我们使用卡方检验来判断纤度总体方差是否正常。

步骤 2：确定检验统计量和临界值
检验统计量是卡方统计量，记为 $\chi_0^2$。临界值是根据给定的显著性水平和自由度确定的卡方分布的分位数。在这个问题中，显著性水平为0.05，自由度为4，因此我们需要找到 $\chi_{0.025}^2(4)$ 和 $\chi_{0.975}^2(4)$。

步骤 3：比较检验统计量和临界值
如果 $\chi_0^2$ 落在 $\chi_{0.025}^2(4)$ 和 $\chi_{0.975}^2(4)$ 之间，我们接受零假设，即认为纤度总体方差正常。如果 $\chi_0^2$ 超过这个范围，我们拒绝零假设，即认为纤度总体方差不正常。

步骤 4：做出决策
根据题目给出的信息，$\chi_0^2 = 48$，而 $\chi_{0.025}^2(4) \approx 9.488$ 和 $\chi_{0.975}^2(4) \approx 0.711$。由于 $\chi_0^2 = 48$ 显著大于 $\chi_{0.025}^2(4)$，我们拒绝零假设，即认为纤度总体方差不正常。