6. (3.0分) 已知四阶行列式D中第3列的元素为 1，-2，4，0，它们的余子式分别为2，3，-1，5， 则 D=（）.A. 0B. 4C. -4D. 2

本题考查行列式按列展开的计算方法。解题思路是利用行列式按列展开的公式，将行列式的值表示为列元素与对应代数余子式乘积之和，再通过代数余子式与余子式的关系进行计算。

下面我们一步一步进行计算：

1. 首先明确行列式按列展开的公式：若$D$是$n$阶行列式，按第$j$列展开，则$D = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots +a_{nj}A_{nj}$，其中$a_{ij}$是第$i$行第$j$列的元素，$A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$是$a_{ij}$的代数余子式，$M_{ij}$是$a_{ij}$的余子式。
2. 已知四阶行列式$D$中第$3$列的元素为$a_{13}=1$，$a_{23}=-2$，$a_{33}=4$，$a_{43}=0$，它们的余子式分别为$M_{13}=2$，$M_{23}=3$，$M_{33}=-1$，$M_{43}=5$。
3. 计算代数余子式：
   • $A_{13}=(-1)^{1 + 3}M_{13}=(-1)^{4}M_{13}=M_{13}=2$；
   • $A_{23}=(-1)^{2 + 3}M_{23}=(-1)^{5}M_{23}=-M_{23}=-3$；
   • $A_{33}=(-1)^{3 + 3}M_{33}=(-1)^{6}M_{33}=M_{33}=-1$；
   • $A_{43}=(-1)^{4 + 3}M_{43}=(-1)^{7}M_{43}=-M_{43}=-5$。
4. 按第$3$列展开行列式$D$：
   $D = a_{13}A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A_{33}+a_{43}A_{43}$
   $=1\times2+(-2)\times(-3)+4\times(-1)+0\times(-5)$
   $=2 + 6 - 4 + 0$
   $=4$。