题目
2.（判断题，5.0分）对于n阶方阵A，A的秩小于n当且仅当A的行列式为零。A.对B.错
2.（判断题，5.0分）对于n阶方阵A，A的秩小于n当且仅当A的行列式为零。
A.对
B.错
题目解答
答案
对于n阶方阵A，A的秩小于n，可以推出A的行向量（或列向量）中至少有两个向量线性相关如
，则在行列式计算时，用k倍的
减去
会得到某一行（或某一列）全为0，此时行列式值为0。充分性得证。
当A的行列式为0时，由于方阵满秩的充要条件就是方阵的行列式不等于0，说明A一定不满秩，所以推出A的秩小于n。必要性得证。
综上所述，对于n阶方阵A，A的秩小于n当且仅当A的行列式为零，此命题是对的。所以选项A正确。
解析
步骤 1：理解方阵的秩和行列式的关系
方阵的秩是指方阵中线性无关的行（或列）向量的最大数目。对于n阶方阵A，如果A的秩小于n，说明A的行（或列）向量中至少有两个向量线性相关。当A的行（或列）向量中存在线性相关时，A的行列式为0。
步骤 2：证明充分性
如果A的秩小于n，说明A的行（或列）向量中至少有两个向量线性相关。在计算行列式时，可以利用线性相关性，通过行（或列）的线性组合将某一行（或某一列）变为全0，从而使得行列式的值为0。因此，A的秩小于n可以推出A的行列式为0。
步骤 3：证明必要性
如果A的行列式为0，说明A的行（或列）向量中至少有两个向量线性相关。根据方阵满秩的充要条件，方阵满秩的充要条件是方阵的行列式不等于0。因此，如果A的行列式为0，说明A一定不满秩，即A的秩小于n。因此，A的行列式为0可以推出A的秩小于n。
方阵的秩是指方阵中线性无关的行（或列）向量的最大数目。对于n阶方阵A，如果A的秩小于n，说明A的行（或列）向量中至少有两个向量线性相关。当A的行（或列）向量中存在线性相关时，A的行列式为0。
步骤 2：证明充分性
如果A的秩小于n，说明A的行（或列）向量中至少有两个向量线性相关。在计算行列式时，可以利用线性相关性，通过行（或列）的线性组合将某一行（或某一列）变为全0，从而使得行列式的值为0。因此，A的秩小于n可以推出A的行列式为0。
步骤 3：证明必要性
如果A的行列式为0，说明A的行（或列）向量中至少有两个向量线性相关。根据方阵满秩的充要条件，方阵满秩的充要条件是方阵的行列式不等于0。因此，如果A的行列式为0，说明A一定不满秩，即A的秩小于n。因此，A的行列式为0可以推出A的秩小于n。