题目
某人要测量A、B两地之间的距离，限于测量工具，将其分成1200段进行测量，设每段测量误差(单位：千米)相互独立，且均服从(-0.5，0.5)上的均匀分布．试求总距离测量误差的绝对值不超过20千米的概率．(Φ(2)=0.977，Φ(x)为N(0，1)的分布函数)．
某人要测量A、B两地之间的距离，限于测量工具，将其分成1200段进行测量，设每段测量误差(单位：千米)相互独立，且均服从(-0.5，0.5)上的均匀分布．试求总距离测量误差的绝对值不超过20千米的概率．(Φ(2)=0.977，Φ(x)为N(0，1)的分布函数)．
题目解答
答案
[详解]Xi表示第i段上的测量误差，则Xi～U(-0.5，0.5)(i=1，2，…，1200)，E(Xi)=0，[*](i=1，2，…，1200)．由中心极限定理：[*]近似服从N(0，100)，所以[*]=Φ(2)-Φ(-2)=2Φ(2)-1=2×0.977-1=0.954．
解析
步骤 1：定义随机变量
设每段测量误差为随机变量Xi，其中i=1,2,...,1200，且Xi～U(-0.5,0.5)。这意味着每段测量误差在-0.5到0.5之间均匀分布。
步骤 2：计算期望和方差
由于Xi服从均匀分布，其期望E(Xi)和方差Var(Xi)分别为：
E(Xi) = 0
Var(Xi) = (0.5 - (-0.5))^2 / 12 = 1/12
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当n足够大时，n个独立同分布的随机变量之和的标准化变量近似服从标准正态分布。因此，总测量误差的标准化变量为：
Z = (X1 + X2 + ... + X1200) / sqrt(1200 * Var(Xi))
其中，X1 + X2 + ... + X1200表示总测量误差，sqrt(1200 * Var(Xi))表示总测量误差的标准差。
步骤 4：计算概率
我们需要计算总测量误差的绝对值不超过20千米的概率，即：
P(|X1 + X2 + ... + X1200| <= 20)
由于Z近似服从标准正态分布，我们可以将上述概率转化为：
P(-20 / sqrt(1200 * Var(Xi)) <= Z <= 20 / sqrt(1200 * Var(Xi)))
根据题目给出的Φ(2)=0.977，我们可以计算出：
P(-2 <= Z <= 2) = Φ(2) - Φ(-2) = 2Φ(2) - 1 = 2 * 0.977 - 1 = 0.954
设每段测量误差为随机变量Xi，其中i=1,2,...,1200，且Xi～U(-0.5,0.5)。这意味着每段测量误差在-0.5到0.5之间均匀分布。
步骤 2：计算期望和方差
由于Xi服从均匀分布，其期望E(Xi)和方差Var(Xi)分别为：
E(Xi) = 0
Var(Xi) = (0.5 - (-0.5))^2 / 12 = 1/12
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当n足够大时，n个独立同分布的随机变量之和的标准化变量近似服从标准正态分布。因此，总测量误差的标准化变量为：
Z = (X1 + X2 + ... + X1200) / sqrt(1200 * Var(Xi))
其中，X1 + X2 + ... + X1200表示总测量误差，sqrt(1200 * Var(Xi))表示总测量误差的标准差。
步骤 4：计算概率
我们需要计算总测量误差的绝对值不超过20千米的概率，即：
P(|X1 + X2 + ... + X1200| <= 20)
由于Z近似服从标准正态分布，我们可以将上述概率转化为：
P(-20 / sqrt(1200 * Var(Xi)) <= Z <= 20 / sqrt(1200 * Var(Xi)))
根据题目给出的Φ(2)=0.977，我们可以计算出：
P(-2 <= Z <= 2) = Φ(2) - Φ(-2) = 2Φ(2) - 1 = 2 * 0.977 - 1 = 0.954