题目

列主元消去法解下列线性方程组并求系数行列式}2x_(1)-x_(2)-x_(3)=43x_(1)+4x_(2)-3x_(3)=103x_(1)-2x_(2)+4x_(3)=11

列主元消去法解下列线性方程组并求系数行列式 $\begin{cases}2x_{1}-x_{2}-x_{3}=4\\3x_{1}+4x_{2}-3x_{3}=10\\3x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=11\end{cases}$

题目解答

答案

  1. 列主元消去：
    交换行后，消元得上三角矩阵。
    解得：$x_1 = 3$，$x_2 = 1$，$x_3 = 1$。

  2. 系数行列式：
    经行交换和消元，行列式为 $60$。

答案：
$\boxed{\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}}$
系数行列式：$\boxed{60}$

解析

本题考查列主元消去法解线性方程组以及求系数行列式的值。解题思路是先通过列主元消去法将增广矩阵化为上三角矩阵，然后求解方程组，同时在消元过程中记录行交换的次数，根据行列式的性质计算系数行列式的值。

1. 列主元消去法解线性方程组

首先，写出线性方程组的增广矩阵：
$\begin{bmatrix}2&-1&-1&4\\3&4&-3&10\\3&-2&4&11\end{bmatrix}$

  • 第一步：确定第一列主元
    第一列元素为$2$，$3$，$3$，主元为$3$，将第一行与第二行交换，得到：
    $\begin{bmatrix}3&4&-3&10\\2&-1&-1&4\\3&-2&4&11\end{bmatrix}$
  • 第二步：消去第一列除主元外的元素
    第二行减去第一行的$\frac{2}{3}$倍，第三行减去第一行，得到：
    $\begin{bmatrix}3&4&-3&10\\2 - 3\times\frac{2}{3}&-1 - 4\times\frac{2}{3}&-1 - (-3)\times\frac{2}{3}&4 - 10\times\frac{2}{3}\\3 - 3&-2 - 4&4 - (-3)&11 - 10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&4&-3&10\\0&-\frac{11}{3}&1&-\frac{8}{3}\\0&-6&7&1\end{bmatrix}$
  • 第三步：确定第二列主元
    第二列元素为$4$，$-\frac{11}{3}$，$-6$，主元为$-6$，将第二行与第三行交换，得到：
    $\begin{bmatrix}3&4&-3&10\\0&-6&7&1\\0&-\frac{11}{3}&1&-\frac{8}{3}\end{bmatrix}$
  • 第四步：消去第二列除主元外的元素
    第三行减去第二行的$\frac{11}{18}$倍，得到：
    $\begin{bmatrix}3&4&-3&10\\0&-6&7&1\\0 - 0\times\frac{11}{18}&-\frac{11}{3}-(-6)\times\frac{11}{18}&1 - 7\times\frac{11}{18}&-\frac{8}{3}-1\times\frac{11}{18}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&4&-3&10\\0&-6&7&1\\0&0&-\frac{59}{18}&-\frac{59}{18}\end{bmatrix}$
    此时增广矩阵已化为上三角矩阵，对应的方程组为：
    $\begin{cases}3x_1 + 4x_2 - 3x_3 = 10\\-6x_2 + 7x_3 = 1\\-\frac{59}{18}x_3 = -\frac{59}{18}\end{cases}$
  • 第五步：回代求解
    由$-\frac{59}{18}x_3 = -\frac{59}{18}$，解得$x_3 = 1$。
    将$x_3 = 1$代入$-6x_2 + 7x_3 = 1$，得$-6x_2 + 7\times1 = 1$，即$-6x_2 = -6$，解得$x_2 = 1$。
    将$x_2 = 1$，$x_3 = 1$代入$3x_1 + 4x_2 - 3x_3 = 10$，得$3x_1 + 4\times1 - 3\times1 = 10$，即$3x_1 = 9$，解得$x_1 = 3$。

2. 求系数行列式的值

原系数矩阵为$\begin{bmatrix}2&-1&-1\\3&4&-3\\3&-2&4\end{bmatrix}$，在列主元消去过程中进行了两次行交换，根据行列式的性质，交换两行行列式变号，所以系数行列式的值为：
$D = (-1)^2\times\begin{vmatrix}3&4&-3\\0&-6&7\\0&0&-\frac{59}{18}\end{vmatrix}$
上三角行列式的值等于主对角线元素之积，所以：
$D = 3\times(-6)\times(-\frac{59}{18}) = 60$