题目
一批零件的长度服从正态分布,从中任取16个测得如下数据2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。对α=0.05,求总体均值的置信区间。(1)已知总体标准差=0.01 (2)总体标准差未知
一批零件的长度服从正态分布,从中任取16个测得如下数据2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。对α=0.05,求总体均值
的置信区间。
(1)已知总体标准差
=0.01 (2)总体标准差未知
题目解答
答案
解:(1)计算出
=2.125,
=0.0049,的1-α置信区间为(2.120,2.130)
(2) 总体标准差未知,查表得
的分位数为2.1315,由公式计算出的1-α置信区间为(2.116,2.134)
解析
步骤 1：计算样本均值
根据题目给出的数据，计算样本均值。样本均值是所有样本值的平均值。
步骤 2：计算置信区间（已知总体标准差）
当总体标准差已知时，使用正态分布的性质来计算置信区间。置信区间的计算公式为：$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中$\bar{x}$是样本均值，$z_{\alpha/2}$是标准正态分布的分位数，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本量。
步骤 3：计算置信区间（总体标准差未知）
当总体标准差未知时，使用t分布来计算置信区间。置信区间的计算公式为：$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}$，其中$\bar{x}$是样本均值，$t_{\alpha/2, n-1}$是t分布的分位数，$s$是样本标准差，$n$是样本量。
根据题目给出的数据，计算样本均值。样本均值是所有样本值的平均值。
步骤 2：计算置信区间（已知总体标准差）
当总体标准差已知时，使用正态分布的性质来计算置信区间。置信区间的计算公式为：$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中$\bar{x}$是样本均值，$z_{\alpha/2}$是标准正态分布的分位数，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本量。
步骤 3：计算置信区间（总体标准差未知）
当总体标准差未知时，使用t分布来计算置信区间。置信区间的计算公式为：$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}$，其中$\bar{x}$是样本均值，$t_{\alpha/2, n-1}$是t分布的分位数，$s$是样本标准差，$n$是样本量。