题目

在某次数学考试中 , 考生的成绩 ξ 服从一个正态分布 , 即 ξ∼N(90,100). (1)试求考试成绩 ξ 位于区间 (70,110) 上的概率是多少 ? (2)若这次考试共有 2000 名考生 , 试估计考试成绩在 (80,100) 间的考生大约有多少人 ?

在某次数学考试中 , 考生的成绩 ξ 服从一个正态分布 , 即 ξ∼N(90,100).

(1)试求考试成绩 ξ 位于区间 (70,110) 上的概率是多少 ?

(2)若这次考试共有 2000 名考生 , 试估计考试成绩在 (80,100) 间的考生大约有多少人 ?

题目解答

答案

(1)∵ 考生的成绩 ξ 服从正态分布 , 即 ξ∼N(90,100) ，

∴ 正态曲线关于 x=90 对称，且标准差为 10 ，

根据 3σ 原则知 P(70<x<110)=P(90−2×10<x<90+2×10)=0.9544 ，

(2)P(80<x<100)=P(90−10<x<90+10)=0.683 ，

考试成绩 X 位于区间 (80,100) 上的概率为 0.683 ，

则估计考试成绩在 (80,100) 间的考生大约有 2000×0.683=1366 人。

解析

步骤 1：确定正态分布的参数
根据题目，考生的成绩 ξ 服从正态分布，即 ξ∼N(90,100)。这里，90 是均值 μ，100 是方差 σ^2，因此标准差 σ=√100=10。

步骤 2：计算成绩位于区间 (70,110) 上的概率
根据正态分布的性质，成绩 ξ 位于区间 (70,110) 上的概率可以通过计算标准正态分布的累积分布函数（CDF）来得到。由于 70 和 110 分别是均值 90 减去和加上 2 个标准差，根据 3σ 原则，P(70
步骤 3：计算成绩位于区间 (80,100) 上的概率
成绩 ξ 位于区间 (80,100) 上的概率同样可以通过计算标准正态分布的累积分布函数（CDF）来得到。由于 80 和 100 分别是均值 90 减去和加上 1 个标准差，根据 3σ 原则，P(80
步骤 4：估计考试成绩在 (80,100) 间的考生人数
根据步骤 3 的结果，考试成绩 X 位于区间 (80,100) 上的概率为 0.683。因此，估计考试成绩在 (80,100) 间的考生大约有 2000×0.683=1366 人。