题目

一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是100克，标准差是10克。求一盒(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2千克的概率。(9分)(Phi(2)=0.9772)

一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是100克，标准差是10克。 求一盒(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2千克的概率。(9分) ($\Phi(2)=0.9772$)

题目解答

答案

设每个螺丝钉的重量为 $X_i$，期望 $E(X_i) = 100$ 克，标准差 $\sigma = 10$ 克。一盒100个螺丝钉的总重量 $S = \sum_{i=1}^{100} X_i$，则： - 期望 $E(S) = 100 \times 100 = 10000$ 克 - 方差 $\text{Var}(S) = 100 \times 10^2 = 10000$，标准差 $\sigma_S = 100$ 克 由中心极限定理，$S$ 近似服从正态分布 $N(10000, 100^2)$。求 $P(S > 10200)$： \[ P\left(\frac{S - 10000}{100} > \frac{10200 - 10000}{100}\right) = P(Z > 2) \] 其中，$Z$ 服从标准正态分布，已知 $\Phi(2) = 0.9772$，故： \[ P(Z > 2) = 1 - \Phi(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228 \] **答案：** $\boxed{0.0228}$

解析

本题考查中心极限定理的应用。解题思路如下：

  1. 首先明确每个螺丝钉重量为随机变量变量$X_i$，已知其期望$E(X(X_i = 100$克，标准差$\sigma = 10$克。

  2. 设一盒$100$个螺丝钉的总重量为$S=\sum_{i = 1}^{100}X_i$，根据期望和的期望与方差性质来计算$S$的期望和方差。

    • 期望的性质：若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，$E(X_i)=\mu$，则$E(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=n\mu$。在这里$n = 100$，$\mu=100$，所以$E(S)=100\times100 = 10000$克。
    • 方差的性质：若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，$D(X_i)=\sigma^2$，则$D(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=n\sigma^2$。已知$\sigma = 10$，所以$D(S)=100\times10^2=10000$，那么标准差$\sigma_S=\sqrt{D(S)}=\sqrt{10000}=100$克。

  3. 由中心极限极限极限定理可知，当$n$充分大时（本题$n = 100$），独立同分布的随机变量之和$S$近似服从正态分布$N(E(S),D(S))$，即$S$近似服从正态分布$N(10000,100^2)$。

  4. 要求$P(S>102000)$，需要将$S$进行标准化。对于正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，标准化公式为$Z=\frac{S - \mu}{\sigma}$，这里$\mu = 10000$，$\sigma = 100$，则$P(S>10200)=P\left(\frac{S - 10000}{100}>\frac{10200 - 10000}{100}\right)=P(Z > 2)$，其中$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。

  5. 已知$\Phi(2)=0.9772$，根据标准正态分布的性质$P(Z > 2)=1 - P(Z\leqslant2)=1-\Phi(2)$，将$\Phi(2)=0.9772$代入可得$P(Z > 2)=1 - 0.9772 = 0.0228$。