11.在总体Xsim N(12,2^2)中随机抽取一个容量为5的样本X_(1),X_(2),...,X_(5)，其顺序统计量为X_((1)),X_((2)),...,X_((5))，试求：(1)PX_{(5))<15}；(2)PX_{(1))<10}.(Phi(1.5)=0.9332;Phi(1)=0.8413)

解析
本题主要考查正态分布以及顺序统计量的概率计算。解题的关键在于理解顺序统计量中最大值和最小值的概率含义，并利用正态分布的标准化公式进行计算。

（1）求 $P\{X_{(5)} < 15\}$

• • 首先明确顺序统计量 $X_{(5)}$ 是样本 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{5}$ 中的最大值。那么 $X_{(5)} < 15$ 意味着所有的样本值 $X_i$（$i = 1,2,\cdots,5$）都小于 $15$。
• 已知总体 $X\sim N(12,2^{2})$，根据正态分布的标准化公式 $Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$（其中 $\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差），对于 $X < 15$，有：
• 计算 $P\{X < 15\}$，将 $X = 15$，$\mu = 12$，$\sigma = 2$ 代入标准化公式可得：
  $P\{X < 15\} = \Phi\left(\frac{15 - 12}{2})=\Phi(1.5)$
  已知 $\Phi(1.5)=0.9332$，即 $P\{X < 15\} = 0.9332$。
• 因为样本中的每个 $X_i$ 都小于 $15$ 这一事件是相互独立的，所以 $P\{X_{(5) < 15\}=P\{X_1 < 15,X_2 < 15,\cdots,X_5 < 15\}$。
  根据独立事件概率的乘法公式，可得 $P\{X_{(5)} < 15\}=(P\{X < 15\})^5=(0.9332)^5$。

（2）求 $P\{\{X_{(1)} < 10\}$

• 顺序统计量 $X_{(1)}$ 是样本 $X_{1,X_2,\cdots,X_5$ 中的最小值。那么 $X_{(1)} < 10$ 的对立事件是 $X_{(1)}\geq10$ 意味着所有的样本值 $X_i$（$i = 1,2,\cdots,5$）都大于等于 $10$。
• 同样根据正态分布的标准化公式，对于 $X\geq10$，有：
  $P\{X\geq10\}=1 - P\{X < 10\}$
  将 $X = 10$，$\mu = 12$，$\sigma = 2$ 代入标准化公式可得：
  $P\{X < 10\}=\Phi(\frac{10 - 12}{2})=\Phi(-1)$ )
  根据正态分布的性质 $\Phi(-z)=1 - \Phi(z)$，可得 $\Phi(-1)=1 - \Phi(1)$。
  已知 $\Phi(1)=0.8413$，所以 $P\{X < 10\}=1 - 0.8413 = 0.1587$，则 $P\{X\geq10\}=1 - 0.1587 = 0.8413$。
• 因为样本中的每个 $X_i$ 都大于等于 $10$ 这一事件是相互独立的，所以 $P\{X_{(1)}\geq10\}=P\{X_1\geq10,X_2\geq10,\cdots,X_5\geq10\}$。
  根据独立事件概率的乘法公式，可得 $P\{X_{(1)}\geq10\}=(P\{X\geq10\\})^5=(0.8413)^5$。
• 再根据对立事件概率的性质 $P(A)=1 - P(\overline{A})$，可得 $P\{X_{(1)} < 10\}=1 - P\{X_{(1)}\geq10\}=1-(0.8413)^5$。