7.从总体 sim N(12,(2)^2) 中随机抽取容-|||-量为5的样本X1,X2,···,X5.求 (11lt -|||-overline (X)lt 15) )

考查要点：本题主要考查正态分布的样本均值分布及标准正态分布的转换与概率计算。

解题核心思路：

1. 确定样本均值的分布：由于总体服从正态分布，样本均值$\overline{X}$也服从正态分布，其均值为总体均值$\mu$，方差为$\frac{\sigma^2}{n}$。
2. 标准化转换：将$\overline{X}$的取值范围转换为标准正态分布$Z$的形式，利用标准正态分布表计算概率。

破题关键点：

• 正确计算样本均值的方差和标准差：$\text{Var}(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$，$\text{SD}(\overline{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
• 准确进行Z分数转换：$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$。

1. 确定样本均值的分布
   总体$X \sim N(12, 2^2)$，样本容量$n=5$，则样本均值$\overline{X}$服从：
   $\overline{X} \sim N\left(12, \frac{2^2}{5}\right) = N\left(12, 0.8\right)$
   其中，均值$\mu_{\overline{X}} = 12$，标准差$\sigma_{\overline{X}} = \sqrt{0.8} = \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0.8944$。

2. 标准化转换
   将$\overline{X}$的取值范围$11 < \overline{X} < 15$转换为标准正态分布$Z$：

   • 当$\overline{X} = 11$时：
     $Z_1 = \frac{11 - 12}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{-1}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = -\frac{\sqrt{5}}{2} \approx -1.118$
   • 当$\overline{X} = 15$时：
     $Z_2 = \frac{15 - 12}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{3}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{3\sqrt{5}}{2} \approx 3.354$

3. 计算概率
   查标准正态分布表：

   • $P(Z < -1.118) \approx 0.1314$
   • $P(Z < 3.354) \approx 0.9996$
     因此，所求概率为：
     $P(11 < \overline{X} < 15) = 0.9996 - 0.1314 = 0.8682$