题目

下列两式各说明 A, B 之间有什么样的包含关系：(1) A cup B = A；(2) A cap B = A.

下列两式各说明 A, B 之间有什么样的包含关系： (1) $A \cup B = A$； (2) $A \cap B = A$.

题目解答

答案

(1) 由 $A \cup B = A$，知 $B$ 中所有元素均在 $A$ 中，即 $B \subseteq A$（或 $A \supseteq B$）。
(2) 由 $A \cap B = A$，知 $A$ 中所有元素均在 $B$ 中，即 $A \subseteq B$（或 $B \supseteq A$）。

答案：
(1) $B \subseteq A$（或 $A \supseteq B$）
(2) $A \subseteq B$（或 $B \supseteq A$）

$\boxed{\begin{array}{cc}\text{(1) } B \subseteq A \\\text{(2) } A \subseteq B\end{array}}$

解析

考查要点：本题主要考查集合的基本运算（并集、交集）与包含关系的判断，需要理解集合运算结果与原集合相等时所隐含的子集关系。

解题核心思路：

  1. 并集结果等于其中一个集合：若 $A \cup B = A$，说明合并后未引入新元素，因此 $B$ 的所有元素都在 $A$ 中，即 $B \subseteq A$。
  2. 交集结果等于其中一个集合：若 $A \cap B = A$，说明 $A$ 的所有元素都存在于 $B$ 中，即 $A \subseteq B$。

破题关键点：

  • 并集性质：$A \cup B$ 包含所有属于 $A$ 或 $B$ 的元素。若结果等于 $A$，则 $B$ 的元素不能超出 $A$。
  • 交集性质：$A \cap B$ 包含同时属于 $A$ 和 $B$ 的元素。若结果等于 $A$，则 $A$ 的元素必须全部在 $B$ 中。

第（1）题

关键推导：

  • 由 $A \cup B = A$，根据并集的定义，$B$ 中的元素必须全部在 $A$ 中，否则并集会包含 $B$ 的新元素，导致结果不等于 $A$。
  • 因此，$B$ 是 $A$ 的子集，即 $B \subseteq A$（或 $A \supseteq B$）。

第（2）题

关键推导：

  • 由 $A \cap B = A$，根据交集的定义，$A$ 中的每个元素都必须在 $B$ 中存在，否则交集会缺少这些元素，导致结果不等于 $A$。
  • 因此，$A$ 是 $B$ 的子集，即 $A \subseteq B$（或 $B \supseteq A$）。