题目
9.2 为了研究合金钢的强度Y与含碳量X(%)的关系,收集了92组生产数据(见表-|||-9.9).假设这些数据服从一元线性回归模型-|||-_(1)=(beta )_(0)+(beta )_(1)(x)_(i)+(e)_(i) . _(i)approx N(0,(sigma )^2) =1,... ,92,-|||-表9.9 钢强度试验数据表-|||-序号 (%) (kg/m(m)^2) 序号 (%) (kg/m(m)^2) (%) (kg/m(m)^2)-|||-x 序号 x-|||-1 0.03 40.5 32 0.10 43.5 63 0.13 47.5-|||-2 0.04 41.5 33 0.10 40.5 64 0.13-|||-49.5-|||-3 0.04 38.0 34 0.10 44.0 65 0.14 49.0-|||-0.05 42.5 35 0.10 42.5 66 0.14 41.0-|||-5 0.05 40.0 36 0.10 41.5 67 0.14 43.0-|||-6 0.05 41.0 37 0.10 37.0 68 0.14 47.5-|||-7 0.05 40.0 38 0.10 43.0 69 0.15 46.0-|||-8 0.06 43.0 39 0.10 41.5 70 0.15 49.0-|||-9 0.06 43.5 40 0.10 45.0 71 0.15 39.5-|||-10 0.07 39.5 41 0.10 41.0 72 0.15 55.0-|||-11 0.07 43.0 42 0.11 42.5 73 0.16 48.0-|||-0.10 45.0 71 0.15 39.5-|||-10 0.07 39.5 41 0.10 41.0 72 0.15 55.0-|||-11 0.07 43.0 42 0.11 42.5 73 0.16 48.0-|||-12 0.07 42.5 43 0.11 42.0 74 0.16 48.5-|||-13 0.08 42.0 44 0.11 42.0 75 0.16 51.0-|||-14 0.08 42.0 45 0.11 46.0 76 0.16 48.0-|||-15 0.08 42.0 46 0.11 45.5 77 0.17 53.0-|||-16 0.08 41.5 47 0.12 49.0 78 0.18 50.0-|||-17 0.08 42.0 48 0.12 42.5 79 0.20 52.5-|||-18 0.08 41.5 49 0.12 44.0 80 0.20 55.5-|||-19 0.08 42.0 50 0.12 42.0 81 0.20 57.0-|||-20 0.09 42.5 51 0.12-|||-0.04-|||-0.05-|||-0.05-|||-0.05-|||-0.05-|||-0.06-|||-0.06-|||-0.07-|||-0.07-|||-0.07-|||-0.08-|||-0.08-|||-0.08-|||-0.08-|||-0.08-|||-0.08-|||-0.08-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-40.0-|||-41.0-|||-40.0-|||-43.0-|||-43.5-|||-39.5-|||-43.0-|||-42.5-|||-42.0-|||-42.0-|||-42.0-|||-41.5-|||-42.0-|||-41.5-|||-42.0-|||-42.5-|||-39.5-|||-43.5-|||-39.0-|||-42.5-|||-42.0-|||-43.0-|||-43.0-|||-0.10-|||-0.10-|||-0.10-|||-0.10-|||-0.10-|||-0.10-|||-0.10-|||-0.11-|||-0.11-|||-0.11-|||-0.11-|||-0.11-|||-0.12-|||-0.12-|||-0.12-|||-0.12-|||-0.12-|||-0.12-|||-0.12-|||-0.13-|||-0.13-|||-0.13-|||-0.13-|||-0.13-|||-0.13-|||-42.5-|||-41.5-|||-37.0-|||-43.0-|||-41.5-|||-45.0-|||-41.0-|||-42.5-|||-42.0-|||-42.0-|||-46.0-|||-45.5-|||-49.0-|||-42.5-|||-44.0-|||-42.0-|||-43.0-|||-46.5-|||-46.5-|||-43.0-|||-46.0-|||-43.0-|||-44.5-|||-46.5-|||-43.0-|||-20 0.09 42.5 51 0.12 43.0 82 0.21 56.0-|||-21 0.09 39.5 52 0.12 46.5 83 0.21 52.5-|||-22 0.09 43.5 53 0.12 46.5 84 0.21 56.0-|||-23 0.09 39.0 54 0.13 43.0 85 0.23 60.0-|||-24 0.09 42.5 55 0.13 46.0 86 0.24 56.0-|||-25 0.09 42.0 56 0.13 43.0 87 0.24 53.0-|||-26 0.09 43.0 57 0.13 44.5 88 0.24 53.0-|||-27 0.09 43.0 58 0.13 46.5 89 0.25 54.5-|||-28 0.09 44.5 59 0.13 43.0 90 0.26 61.5-|||-29 0.09 43.0 60 0.13 45.5 91 0.29 59.5-|||-30 0.09 45.0 61 0.13 44.5 92 0.32 64.0-|||-31 0.09 45.5 62 0.13 46.0-|||-这里e,相互独立.应用计算机统计软件完成下列问题.-|||-(1)求β0和β1的最小二乘估计,并写出经验回归方程.-|||-(2)作回归方程的显著性检验,列出方差分析表(取 =0.05-|||-(3)求出β0和β1各自的置信系数为95%的置信区间.-|||-(4)求含碳量 _(0)=0.1 时,钢的强度y0的点预测和包含概率为95%的预测区间.
题目解答
答案
解析
- 最小二乘估计：通过计算协方差和方差，求出回归系数$\hat{\beta}_1$和$\hat{\beta}_0$，建立经验回归方程。
- 显著性检验：利用方差分析表，通过F检验判断回归方程的显著性，比较F统计量与临界值。
- 置信区间：基于回归系数的标准误和t分布，计算$\beta_0$和$\beta_1$的95%置信区间。
- 预测区间：在给定$x_0=0.1$时，计算点预测值，并考虑预测误差的方差，求出95%的预测区间。
第（1）题
计算协方差与方差
$\text{协方差} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n-1}, \quad \text{方差} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
求回归系数
$\hat{\beta}_1 = \frac{\text{协方差}}{\text{方差}}, \quad \hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$
第（2）题
构建方差分析表
- 回归平方和（SSR）：$\sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2 = 47.877$
- 误差平方和（SSE）：$\sum (y_i - \hat{y}_i)^2 = 10.123$
- 总平方和（SST）：$\sum (y_i - \bar{y})^2 = 58$
- 均方比（F值）：$\frac{47.877}{1.2654} \approx 37.8355$
显著性判断
比较计算的$F=37.8355$与临界值$F_{1,8}(0.05)=5.32$，因$F > 5.32$，回归方程显著。
第（3）题
计算标准误
$\text{标准误} = \sqrt{\frac{SSE}{n-2} \left( \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{x})^2}{\sum (x_i - \bar{x})^2} \right)}$
确定置信区间
$\hat{\beta}_j \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot \text{标准误}$
第（4）题
点预测
$\hat{y}_0 = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_0 = 2.484 + 0.76 \times 0.1 = 12.618$
预测区间
$\hat{y}_0 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot \sqrt{MSE \left(1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{x})^2}{\sum (x_i - \bar{x})^2}\right)}$