题目
设随机变量X与Y独立，且sim N(0,1)，sim N(0,1)，则sim N(0,1)________.
设随机变量X与Y独立，且
，
，则
________.
题目解答
答案
随机变量X与Y独立，则
，表示X服从标准正态分布，则
，
表示Y服从参数
的正态分布，则
，则
.
解析
步骤 1：确定随机变量X和Y的期望和方差
由于$X\sim N(0,1)$，则$E(X)=0$，$D(X)=1$。
由于$Y\sim N(1,1)$，则$E(Y)=1$，$D(Y)=1$。
步骤 2：利用独立随机变量的方差性质
由于随机变量X与Y独立，根据方差的性质，对于任意常数a和b，有$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$。
步骤 3：计算D(X-3Y)
将a=1，b=-3代入上述方差性质，得到$D(X-3Y)=1^2D(X)+(-3)^2D(Y)=D(X)+9D(Y)$。
将$D(X)=1$和$D(Y)=1$代入，得到$D(X-3Y)=1+9\times 1=10$。
由于$X\sim N(0,1)$，则$E(X)=0$，$D(X)=1$。
由于$Y\sim N(1,1)$，则$E(Y)=1$，$D(Y)=1$。
步骤 2：利用独立随机变量的方差性质
由于随机变量X与Y独立，根据方差的性质，对于任意常数a和b，有$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$。
步骤 3：计算D(X-3Y)
将a=1，b=-3代入上述方差性质，得到$D(X-3Y)=1^2D(X)+(-3)^2D(Y)=D(X)+9D(Y)$。
将$D(X)=1$和$D(Y)=1$代入，得到$D(X-3Y)=1+9\times 1=10$。