题目

有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车，在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在每天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？

有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车，在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在每天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？

题目解答

答案

设出事故次数为 $ X $，则 $ X $ 服从二项分布 $ B(1000, 0.0001) $。由于 $ n = 1000 $ 很大，$ p = 0.0001 $ 很小，且 $ np = 0.1 $，可近似使用泊松分布 $ P(\lambda) $，其中 $ \lambda = np = 0.1 $。
根据泊松分布公式 $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $，有：
$P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$
其中，
$P(X = 0) = e^{-0.1}, \quad P(X = 1) = 0.1 e^{-0.1}$
代入得：
$P(X \geq 2) = 1 - e^{-0.1} - 0.1 e^{-0.1} = 1 - 1.1 e^{-0.1} \approx 1 - 1.1 \times 0.904837 \approx 0.0047$
答案： $\boxed{0.0047}$

解析

考查要点：本题主要考查二项分布的泊松近似应用，以及泊松分布的概率计算。
解题思路：

  1. 识别问题符合二项分布的条件，但由于试验次数$n$很大、概率$p$很小，可近似为泊松分布。
  2. 计算参数$\lambda = np$，确定泊松分布形式。
  3. 利用泊松分布公式计算累计概率，通过逆向思维（先求补集概率）简化计算。

破题关键：

  • 判断是否适用泊松近似（$n$大、$p$小且$\lambda = np$适中）。
  • 正确应用泊松概率公式，并注意计算技巧（如$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$）。

设出事故次数为$X$，则$X$服从二项分布$B(1000, 0.0001)$。由于$n=1000$很大，$p=0.0001$很小，且$\lambda = np = 0.1$，可用泊松分布$P(\lambda)$近似。

步骤1：写出泊松分布公式

泊松分布概率质量函数为：
$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

步骤2：计算$P(X \geq 2)$

利用补集性质：
$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$

步骤3：代入公式计算

  • $P(X=0) = \frac{0.1^0 e^{-0.1}}{0!} = e^{-0.1}$
  • $P(X=1) = \frac{0.1^1 e^{-0.1}}{1!} = 0.1 e^{-0.1}$

因此：
$P(X \geq 2) = 1 - e^{-0.1} - 0.1 e^{-0.1} = 1 - 1.1 e^{-0.1}$

步骤4：数值计算

已知$e^{-0.1} \approx 0.904837$，代入得：
$1 - 1.1 \times 0.904837 \approx 1 - 0.99532 = 0.00468 \approx 0.0047$