题目
4.由正态总体N(mu,sigma^2)抽取容量为20的样本，试求P(10sigma^2leqslantsum_(i=1)^20(x_(i)-mu)^2leqslant 30sigma^2).
4.由正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$抽取容量为20的样本，试求$P(10\sigma^{2}\leqslant\sum_{i=1}^{20}(x_{i}-\mu)^{2}\leqslant 30\sigma^{2})$.
题目解答
答案
设 $x_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $\frac{x_i - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。令 $y_i = \frac{x_i - \mu}{\sigma}$，则 $y_i \sim N(0, 1)$，且 $\sum_{i=1}^{20} y_i^2 \sim \chi^2(20)$。
原不等式可化为：
\[
P(10\sigma^2 \leqslant \sigma^2 \sum_{i=1}^{20} y_i^2 \leqslant 30\sigma^2) = P(10 \leqslant \chi^2(20) \leqslant 30)
\]
利用卡方分布表或统计软件（如MATLAB的`chi2cdf`函数），得：
\[
F_{\chi^2(20)}(30) \approx 0.9301, \quad F_{\chi^2(20)}(10) \approx 0.0318
\]
因此，概率为：
\[
P(10 \leqslant \chi^2(20) \leqslant 30) \approx 0.9301 - 0.0318 = 0.8983
\]
**答案：** $\boxed{0.8983}$